1、3 初等函数11, 指数函数 希望能够在复平面内定义一个函数 f(z)具有实函数中的指数函数 ex的三个性质 :i) f(z)在复平面内解析 ;ii) f (z)=f(z)iii) 当 Im(z)=0时 , f(z)=ex, 其中 x=Re(z)2前面的例 1中已经知道 , 函数f(z)=ex(cos y+i sin y)是一个在复平面处处解析的函数 , 且有f (z) =f(z), 当 y=0时 , f(z)=ex. f(z)称为指数函数 .记作 exp z=ex(cos y+isin y). (2.3.1)等价于关系式 : |exp z|=ex,Arg(exp z)=y+2kp (2.3.
2、2)3由 (2.3.2)中的第一式可知exp z0.跟 ex一样 , exp z也服从加法定理 :exp z1exp z2 = exp(z1+z2) (2.3.3)4事实上 , 设 z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, 按定义有5鉴于 exp z满足条件 iii), 且加法定理也成立 , 为了方便 , 往往用 ez代替 exp z. 但是必须注意 , 这里的 ez没有幂的意义 , 仅仅作为代替 exp z的符号使用 , 因此我们就有ez=ex(cos y+isin y) (2.3.4)特别 , 当 x=0时 , 有eiy=cos y+isin y (2.3.5)6由加法定理 , 我们可以
3、推出 exp z的周期性 , 它的周期性是 2kpi, 即ez+2kpi=eze2kpi=ez其中 k为任何整数 .72.对数函数对数函数定义为指数函数的反函数 . 将满足方程ew=z (z0)的函数 w=f(z)称为 对数函数 .8令 w=u+iv, z=reiq, 则 eu+iv=reiq,所以 u=ln r, v=q.因此 w=ln|z|+iArg z由于 Arg z为多值函数 , 所以对数函数 w=f(z)为多值函数 , 并且每两个值相差 2pi的整数倍 ,记作Ln z=ln|z|+iArg z (2.3.6)9Ln z=ln|z|+iArg z (2.3.6)如果规定上式中的 Arg z取主值 arg z, 则 Ln z为一单值函数 , 记作 ln z, 称为 Ln z的 主值 , 因此ln z = ln|z|+iarg z (2.3.7)10
