1、工程数学第 4讲1柯西 -古萨基本定理 如果函数 f(z)在单连通域B内处处解析 , 则它在 B内任何一条封闭曲线 C的积分为零 :CB2定理中的曲线 C可以不是简单曲线 .此定理成立的条件之一是曲线 C要属于区域B.如果曲线 C是 B的边界 , 函数 f(z)在 B内与 C上解析 , 即在闭区域 B+C上解析 , 甚至 f(z)在 B内解析 , 在闭区域 B+C上连续 , 则 f(z)在边界上的积分仍然有3假设 f(z)=u+iv 在单连通域 B内处处解析 ,所以 u和 v以及他们的偏导数在 B内都连续 ,并满足 C-R条件453 基本定理的推广复合闭路定理6可将柯西 -古萨基本定理推广到多
2、连通域的情况 . 设函数 f(z)在多连通域 D内解析 , C为 D内的任意一条简单闭曲线 , 当 C的内部不完全含于D时 , 沿 C的积分就不一定为零 .假设 C及 C1为 D内任意两条 (正向为逆时针方向 )简单闭曲线 , C1在 C内部 , 而且以 C及 C1为边界的区域 D1全含于 D. 作两条不相交的弧线AA及 BB,其中 A,B在 C上 , AB在 C1上这样构成两条全在 D内的简单闭曲线 AEBBEAAE及AAFBBFA.7D CC1A A BBD1FEEF8将上面两等式相加 , 得9(3.3.1)说明 , 如果将 C及 C1-看成一条复合闭路G, 其正向为 :沿 C逆时针 , 沿 C1-顺时针 , 则(3.3.2)说明 , 在区域内的 一个解析函数沿闭曲线的积分 , 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值 , 只要在变形过程中不经过函数f(z)不解析的点 . 这一重要事实 , 称为闭路变形原理10
