1、工程数学第 8讲本文件可从网址http:/上下载(单击 ppt讲义 后选择 工程数学 子目录 )3.1 n维向量及其线性相关性定义 1 数域 F上的 n个数 a1,a2,.,an构成的有序数组 , 称为数域 F上的一个 n元向量 (以后常称 n维向量 ), 记作a=a1,a2,.,an, (3.2)其中 ai称为 a的第 i个分量 .向量写作 (3.2)的形式 , 称为 行向量 ; 向量写作列的形式 (也用矩阵的转置记号表示 )a=a1,a2,.,anT (3.3)称为 列向量 (3.2),(3.3)式的方括号也可用圆括号 ).数域 F上全体 n元向量级成的集合 , 记作 Fn.定义 2 设
2、a=a1,a2,.,an,b=b1,b2,.,bnFn, kF, 定义(i) a=b, 当且仅当 ai=bi(i=1,2,.,n)(ii) 向量加法 (或 a与 b之和 )为a+b=a1+b1,a2+b2,.,an+bn;(iii) 向量的数量乘法 (简称数乘 )为ka=ka1,ka2,.,kan,ka称为向量 a与数 k的数量乘积 .取 k=-1, (-1)a=-a1,-a2,.,-an. (3.4)称右端为 a的负向量 , 记作 -a. 则向量减法定义为 b -a=b + (-a).分量全为零的向量称作零向量 , 记作 On或 O.上述在 Fn中定义的向量加法和数乘运算称为向量的线性运算
3、, 满足八条运算规则 :(1) a+b=b+a (加法交换律 );(2) (a+b)+g=a+(b+g) (加法结合律 );(3) 对任一向量 a, a+O=a;(4) 对任一向量 a, 存在负向量 -a, 使 a+(-a)=O;(5) 1a=a;(6) k(la)=(kl)a (数乘结合律 );(7) k(a+b)=ka+kb (数乘分配律 );(8) (k+l)a=ka+la (数乘分配律 );其中 a,b,gFn, 1,k,lF, O为零向量 .除上面八条规则外 , 还有下面三个性质 :(1) 0a=O, kO=O (其中 0为数零 , k为任意数 );(2) 若 ka=O, 则或者 k
4、=0, 或者 a=O;(3) 向量方程 a+x=b有唯一解 x=b-a.定义 3 数域 F上的全体 n元向量 , 在其中定义了上述向量的加法和数乘运算 , 就称之为数域 F上的 n维向量空间 , 仍记作 Fn. 当 F=R(实数域 )时 , 叫做 n维实向量空间 , 记作 Rn.定义 4 设 aiFn, kiF(i=1,2,.,m), 则向量称为向量组 a1,a2,.,am在数域 F上的一个 线性组合 . 如果记就说 b可由 a1,a2,.,am线性表示 (或 线性表出 ).向量的线性相关性是向量在线性运算下的一种性质 ,它是线性代数中极为重要的基本概念 . 为了更好地理解这个概念 , 先讲一
5、下它在三维实向量中的某些几何背景 , 然后给以一般定义.若两个向量 a1和 a2共线 , 则 a2=la1(lR), 这等于存在不全为零的数 k1,k2使 k1a1+k2a2=O; 若a1和 a2不共线 , 则 lR, 有 a2la1, 它等价于 : 只有当 k1,k2全为 0时 , 才有 k1a1+k2a2=O.a1a2a1a2若三个向量 a1,a2,a3共面 , 则其中至少有一个向量可由另两个向量线性表示 .O a1a2a3a3=l1a1+l2a2O a1a2a3a1=l3a3+0a2两种情况都等价于 : 存在不全为 0的数 k1,k2,k3, 使 k1a1+k2a2+k3a3=O; 若 a1,a2,a3不共面 , 则任一个向量都不能由另两个向量线性表示 , 即只有当 k1,k2,k3全为零时 , 才有 k1a1+k2a2+k3a3=O.Oa3=ka2=ja1=i
