1、工程数学第 20讲本文件可从网址http:/上下载(单击 ppt讲义后选择 工程数学 子目录 )拉普拉斯变换对于一个函数 j(t), 有可能因为不满足傅氏变换的条件 , 因而不存在傅氏变换 .因此 , 首先将 j(t)乘上 u(t), 这样 t小于零的部分的函数值就都等于 0了 . 而大家知道在各种函数中 , 指数函数 ebt(b0)的上升速度是最快的了 , 因而 e-bt下降的速度也是最快的 .因此 , 几乎所有的实用函数 j(t)乘上 u(t)再乘上e-bt后得到的 j(t)u(t)e-bt傅氏变换都存在tf(t)Otf(t)u(t)e-btO对函数 j(t)u(t)e-bt(b0)取傅氏
2、变换 , 可得定义 设函数 f(t)当 t0时有定义 , 而且积分在 s的某一域内收敛 , 则由此积分所确定的函数可写为称此式为函数 f(t)的 拉普拉斯变换式 (简称拉氏变换式 ), 记为F(s)=L f(t)F(s)称为 f(t)的 拉氏变换 (或称为 象函数 ). 而 f(t)称为 F(s)的 拉氏逆变换 (或 象原函数 )记为f(t)=L -1F(s) 也可记为 f(t)F(s).例 1 求单位阶跃函数根据拉氏变换的定义 , 有这个积分在 Re(s)0时收敛 , 而且有例 2 求指数函数 f(t)=ekt的拉氏变换 (k为实数 ).根据 (2.1)式 , 有这个积分在 Re(s)k时收敛 , 而且有其实 k为复数时上式也成立 , 只是收敛区间为 Re(s)Re(k)拉氏变换的存在定理 若函数 f(t)满足 :1, 在 t0的任一有限区间上分段连续2, 当 t时 , f(t)的增长速度不超过某一指数函数 , 即存在常数 M0及 c0, 使得|f(t)|Mect, 0tc上一定存在 , 右端的积分在Re(s)c1c上绝对收敛而且一致收敛 , 并且在Re(s)c的半平面内 , F(s)为解析函数 .MMectf(t)tO
