1、第七章 非线性方程和方程组的解法一、问题的背景和内容概要7.1 引言本章讨论一元 非线性方程 f (x) = 0，以及多元非线性方程组f i(x1, x2， ， xn) = 0， i=1,2,n的数值解法。其中 f i中至少有一个是 xi的非线性函数。重点讨论一元非线性方程 f (x) = 0方程的 根或 函数的零点 。求解非线性方程的根，就是求解 高次方程 或 超越方程 (含有指数和对数等 )，因为这类方程没有固定的求根公式。通常非线性方程的根的情况非常复杂，如：无穷组解无解一个解两个解四个解所以，只在某个区域内可能解存在唯一，而且经常很简单的形式得不到精确解。一般而言 ,非线性方程求根无直
2、接法可言 ,主要寻找近似有效简单方法 ,例如迭代法等 .非线性方程 f(x)=0 的 分类 :代数方程超越方程anxn+ an-1xn-1+ + a1x +a0 =0(求根相对简单 ,但 一般高次（ 4次）非线性方程往往不存在解析解 ) 定理 1 （代数基本定理）设 为具有复系数的 n 次代数方程，则 在复数域上恰有 n 个根（ r 重根计算 r 个） .如果 为实系数代数方程，则复数根成对出现 ，即当 是的复根，则 亦是 的根 .定理 2 （ 1） 设 于 上连续（ 2） ，则存在有 ,使 对方程根的进一步讨论：大多使用 迭代法 .常用的解析法、代数法、几何法。二、一元方程根的搜索法图解法
3、:直接画出 y=f(x)曲线的零点（与 x轴交点的横坐标） ,或同解变换 1 (x) = 2(x)两条曲线交点的横坐标；理 论 : f(x) Ca, b ,单调 ,f(a) f(b) 0希望利用 根的隔离 将区间 a,b缩小 ,如画草图 ,逐步搜索法 ,二分法等f(x)=0在 (a, b)仅有一根 .1、逐步搜索法 (扫描法 )设 f(x) = 0在 a,b上有实根，选定 步长 h,从 a开始依次扫描计算 xk=a+kh (k = 0,1,2,) 处的函数值 f(xk)若 = 0， 则 即为方程的一个实根若某相邻两个点 （ 异号），则说明在小区间 内至少有一个实根；可取或 或 为方程的根 的 近似值 只要步长足够小 ,就能得到任意精度的近似根 ,但步长越小 ,计算量越大 .通常只用来确定根的大致范围2、区间二分法设 f(x)= 0在 a,b上有实根，取中点若 ， 则 即为方程的一个实根若 （异号），则根在区间 内 ,否则根在区间 内 .对第一种情形输出根 ; 对第三种情形取 . 对第二种情形取 ;再取中点 ,重复上述过程 ,当 时 ,区间 的长度趋于零 .实际计算时 ,可用精度 来控制二分次数 .由 区间套定理,上述方法称为 二分法 或 对分法 ,也称 简单的闭区间套法 .当 时 ,区间 的长度趋于零.
