1、20世纪数学概观 () 空前发展的应用数学 12.1 应用数学的新时代 数学的广泛渗透与应用，是它一贯的特点，但在数学史上，数学的应用在不同时期的发展是不平衡的 18世纪是数学与力学紧密结合的时代； 19世纪是纯粹数学形成的时代； 20世纪则可以说既是纯粹数学的时代，又是应用数学的时代特别是20世纪 40年代以后，数学以空前的广度与深度向其他科学技术和人类知识领域渗透，加上电子计算机的推助，应用数学的蓬勃发展已形成为当代数学的一股强大潮流应用数学的这个新时代具有以下几方面的特点 (1)数学的应用突破了传统的范围而向人类几乎所有的知识领域渗透 19世纪 70、 80年代，还是在现代数学发展的早期
2、，恩格斯曾经对数学应用的状况作过这样的估计： “在固体力学中是绝对的，在气体力学中是近似的，在流体力学中已经比较困难了，在物理学中多半是尝试性的和相对的，在化学中是最简单的一次方程式，在生物学中等于零 ”从那以后经过一个多世纪的发展，可以看到恩格斯所描述的状况有了根本的改观数学正在向包括从粒子物理到生命科学、从航空技术到地质勘探在内的一切科技领域进军数学在物理学中的应用经历了一系列激动人心的重大事件；现代化学为了描述化学过程已少不了微分方程和积分方程，并且有许多还是连数学家都感到棘手的非线性方程；生物学不用数学的时代也已一去不返除了自然科学，在经济学、社会学、历史学等社会科学部门中，数学方法的
3、应用也在崭露头角与以往时代不同的是，数学在向外渗透过程中越来越多地与其他领域相结合而形成一系列交叉学科，如数学物理、数理化学、生物数学、数理经济学、数学地质学、数理气象学、数理语言学、数理心理学、数学考古学， 等等，它们的数目还在增加 (2)纯粹数学几乎所有的分支都获得了应用，其中最抽象的一些分支也参与了渗透 在 20世纪 60年代，像拓扑学这样的抽象数学离实际应用似乎还很遥远然而正如我们在下面要讲到的，拓扑学在今天的物理学、生物学和经济学中正在扮演重要角色在凝聚态物理中分类晶体结构的 “缺陷 ”及液晶理论中所用到的某些齐性空间中同伦群的计算，即使对专业的代数拓扑学家也是很难的问题；数论曾经被
4、英国数学家哈代看成是 “无用 ”和 “清白 ”的学问，哈代说 “至今还没有人能发现有什么火药味的东西是数论或相对论造成的 ”，并预言 “将来很多年也不会有人能够发现这类事情 ”，但 1982年以来，哈代所钟爱的 “清白 ”学问数论，已经在密码技术 (“公开密钥 ”系统 )、卫星信号传输、计算机科学和量子场论等许多部门发挥重要的有时是关键的作用 (3)现代数学对生产技术的应用变得越来越直接 以往数学工具直接用于生产技术的事例虽有发生，但数学与生产技术的关系基本上是间接的：常常是先应用于其他科学 (如力学、天文学 )，再由这些科学提供技术进步的基础 20世纪下半叶以来，数学科学与生产技术的相互作用
5、正在加强，数学提供的工具直接影响和推动技术进步的频率正在加大，并在许多情况下产生巨大的经济效益例如以计算流体力学为基础的数值模拟已成为飞行器设计的有效工具，类似的数值模拟方法正在被应用于许多技术部门以替代耗资巨大的试验； 1980年代以来，以调和分析为基础的小波分析直接应用于通信、石油勘探与图象处理等广泛的技术领域；现代大规模生产的管理决策、产品质量控制等也密切依赖于数学中的线性规划算法与统计方法；现代医学仪器工业也离不开数学 (如 Cr扫描仪、核磁共振仪等研制的理论基础主要是现代积分理论 )，等等，这样的例子举不胜举 (4)现代数学在向外渗透的过程中，产生了一些相对独立的应用学科，这些学科以
6、数学方法与数学理论为基础，但不同于上面提到的交叉应用分支，其应用对象不只是限于某一门特殊的学科 (如物理、化学、生物等 )，而是适用于相当广泛的领域这样的应用学科有数理统计、运筹学、控制论等等 20世纪数学空前广泛的应用，是与它的另一个特点即前面已解释过的更高的抽象化趋势共轭发展着我们看到，一方面数学的核心领域正变得越来越抽象，一方面数学的应用也变得越来越广泛核心数学创造的许多高度抽象的语言、结构、方法与理论，被反复地证实是其他科学技术和人类生产与社会实践中普遍适用的工具，这恰恰反映了数学抽象理论与客观现实世界之间的深刻、复杂而又奇妙的联系数学的高度抽象性与内在统一性，不断在更高的层次上决定着这门科学应用的广泛性 12.2 数学向其他科学的渗透 本节以数学物理、生物数学与数理经济学为例来说明 20世纪数学向其他科学的渗透 12.2.1 数学物理 物理学应用数学的历史较长 18世纪是数学与经典力学相结合的黄金时期 19世纪数学应用的重点转移到电学与电磁学，并且由于剑桥学派的努力而形成了数学物理分支进入 20世纪以后，随着物理科学的发展，数学相继在应用于相对论、量子力学以及基本粒子理论等方面取得了一个又一个突破，极大地丰富了数学物理的内容，同时也反过来刺激了数学自身的进步
