1、第二节 极大似然估计引例 1 设有外形完全相同的两个箱子 , 甲箱有 99个 白球 1个黑球 , 乙箱有 1个白球 99个黑球 . 今随机地抽取 一箱 , 再从取出的一箱中抽取一球 , 结果取得白球 . 问这球从哪一个箱子中取出 ?q 极大似然原理引例 2 设某车间生产一批产品 , 要估计这批产品的 不合格品率 p. 在此处我们用随机变量 X 来描述一件产品是合格品或不是合格品 . 表示这件产品是不合格品 , 表示这件产品是合格品 . X 服从概率分布 此处 为不合格品率 . 随机地从中抽取一个容量为 n 的样本 X1, X2, Xn , 此样本取到观察值 x1, x2, xn 的概率为 此样
2、本取到观察值 x1, x2, xn 的概率为 其中 或 1, 上述概率 显 然是未知参数p 的函数 , 称作似然函数 , 记作 因为一次抽样就得到了观察值 x1, x2, xn , 因此 , 在一次抽样中获得这一组特殊观察值的概率应最大 , 即似然 函数 L( p)应该达到最大值 . 因此，取使 L( p)达到最大值的 p 值作为未知参数 p 的估计是合理的 . 所以 , 问题转化为寻求函数 L(p) 的最大值点 . 但因 L(p)与 lnL(p) 在同一点达到极大值 , 故问题可转化为求 lnL(p)的极大值点 . 由于 令 由此得方程 解这方程得可以验证，它使 L(p) 达到最大值 . -
3、极大似然估计量 极大似然估计值由此得 一般 , 设 X 为离散型随机变量 , 其分布律为则样本 X1, X2, Xn的概率分布为记 样本的 似然函数 .称这样得到的 为参数 的 极大似然估计值 , 记作 称统计量为参数 的 极大似然估计量，记作 极大似然法的思想选择适当的 = ,使 L( ) 取最大值 , 即若 X 连续 , 取 f (xi, )为 Xi 的密度函数似然函数为 注 1注 2 未知参数可以不止一个 , 如 1, k . 设 X 的密度 (或分布 )为则定义似然函数为若 关于 1, , k可微 ,则称 为 似然方程组 . 若对于某组给定的样本值 x1, x2, xn， 参数 则称 为 1, k 的 极大似然估计值使似然函数取得最大值 , 即
