1、第十四章 模糊数学分析方法本章学习要点在教育技术研究中具有许多不确定因素 ,通常是指随机性和模糊性，其中模糊性表现为客观事物在类属、性态方面定义的不精确和不明晰，它与精确性相对。要描述对象的模糊性特征，就需要运用模糊数学，通过模糊数学分析，实现由模糊向精确的转化。本章中介绍了模糊数学分析的基本概念；具体论述了在模糊数学分析中隶属函数的确定以及模糊关系与模糊矩阵的确定；详细说明了模糊综合评判方法和模糊聚类分析方法。通过本章的学习，应了解模糊数学分析的基本概念，明确隶属函数的分布统计求法、对比平均求法和模糊统计法，掌握模糊关系矩阵的运算、模糊关系的合成以及模糊关系合成图解法的使用，能够熟练的运用模
2、糊综合评判方法和模糊聚类分析方法分析解决教育技术研究中的具体问题。本章内容结构教育技术研究中的不确定性 模糊关系普通集合及其特征函数 模糊矩阵 模糊集合及其隶属函数 模糊关系矩阵的运算模糊关系的合成隶属函数的分布统计求法 模糊关系合成图解法对比平均法求隶属函数模糊统计法求隶属函灵敏 模糊变换模糊综合评判的原理模糊综合评判应用实例 -网络课程评价模糊聚类分析基本原理模糊等价矩阵聚类法最大树法 模糊数学分析的基概念模糊综合评判方法模糊关系与模糊矩阵隶属函数的确定模糊聚类分析方法第一节 模糊数学分析的基本概念在自然科学或社会科学研究中 ,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。这里所谓的模糊性
3、，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为 “ 有利、比较有利、不那么有利、不利 ” ；灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为 “ 较重、严重、很严重 ” ，等等。 这些通常是本来就属于模糊的概念，为处理分析这些 “模糊 ”概念的数据，便产生了模糊集合论。根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。为处理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。模糊数学的理论基础是模糊集。模糊集的理论是 1965年美国自动控制专家查德 (L. A. Zade
4、h)教授首先提出来的，近 10多年来发展很快。模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。实践证明，模糊数学在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。从该学科的发展趋势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。一、教育技术研究中的不确定性（一） 教育技术研究中具有许多不确定性因素，这些不确定性因素来源主要有如下几个方面：1、研究对象活动出现条件的不确定性，具有概率的特征。2、研究对象类属的边界具有不清晰和性态不确定的特征。3、研究对象信息显示的不充分及其无序性所导致的不清晰特
5、征。4、研究中使用的某些概念、命题在语言语义上的多义与歧义导致的不确定性。5、某些数学运算、逻辑推理误差所导致的不确定性。6、描述对象的内涵和外延与对象称谓之间的不贴切，词不达意所导致的不确定。 （二）各种不确定因素可分为两类：1、随机性。特征：关于对象在类属和性态方面的定义是完全确定的，但对象出现的条件方面是概率的、不确定的。和必然性相对。2、模糊性。特征：表征对象在认识中的分辨界限是不确定的，即对象在类属、性态方面的定义是不精确的、不明晰的。和精确性相对。随机性与模糊性的关系 客观事物以事物性态、类属边界为判据数理统计以事物出现的条件为依据模糊数学确定性必然性精确性随机性模糊性不确定性二、
6、普通集合及其特征函数1、集合的基本概念论域 ，被讨论对象的全体叫做论域，对称全域，通常用大写字母 U、 E、 X、 Y等来表示。元素 ，组成某一集合的单个对象就称为该集合的一个元素，通常用小写字母表示。子集 ，由同一集合中的部分元素组成一个新集合，称为原集合的一个子集，通常用大写字母表示。集合的表示方法 ，把集合中的全部元素列出，并用括事情把它们括起来表示集合的全域。2、集合的基本运算并集、交集、差集、补集。三、模糊集合及其隶属函数1、模糊集合：无明确边界的集合。2、模糊集合的特点：把原来普通集合对类属、性态的非此即彼的绝对属于或不属于的判定，转化为对类属、性态做从 0互 1不同程度的相对判定
7、。3、隶属函数：为了将普通集合与模糊集合加以区别，把模糊集合的特征函数称为隶属函数。 第二节 隶属函数的确定一、隶属函数的分布统计求法利用统计试验计算隶属函数或隶属度的步骤：1、确定集合的因素2、选择部分学生进行试验3、找出各因素数据中的最大值和最小值算出分组组距、计算数据落在各组中的数，根据次数分布情况确定较为适合的隶属度。二、对比平均法求隶属函数设论域 U=x1， x2， x3， ， xn论域中各因素之间按照某一种性为标准，以每两个因素为一组，判定它们各自们归属这一标准的程度，并用符号 g(xi,xj)表示 (i,j=1， 2， ， n)。三、模糊统计法求隶属函数模糊统计法的步骤：（ 1）
8、确定论域与因素集。（ 2）要求参与实验者就论域中各给出的点是否属于因素集的各元素进行投票。（ 3）统计投票结果，求出隶属函数。 例 14-4 设论域 U年龄 =20， 35， 50， 65，因素 A=年青人，老年人 ， 20个人参与投票，结果如表 14.7所示 ：U A的次数 uA20 35 50 65年表人 20 16 2 0老年人 0 0 18 19表 14.7投票结果表则有 u20对 “年青人 ”这一概念的隶属度：20=20/20=1u20对 “老年人 ”这一概念的隶属度：20=0/20=0所以， 20=1， 0。 同理可求出年龄论域中各点对于因素集的隶属度35=0.8， 050=0.1
9、， 0.965=0， 0.95第三节 模糊关系与模糊矩阵一、模糊关系1、关系，描写事物之间联系的数学模型之一就是关系，常用符号 “X”来表示。2、模糊关系，是普遍关系的推广，普通关系只能描述元素间关系的有无，而模糊关系则描述元素之间关系的多少。例 14-6 在医学上常用公式：体重 B（ 公斤） =身高 A（ 厘米） 100来表示标准体重，这就给出了身高（ A） 与体重（ B） 的普通关系。若 A=140， 150， 160， 170， 180B=40， 50， 60， 70， 80身高与体重的普通关系如表 14.8所示： R(A,B) BiAi40 50 60 70 80140 1 0 0 0
10、 0150 0 1 0 0 0160 0 0 1 0 0170 0 0 0 1 0180 0 0 0 0 1表 14.8身高与体重的普通关系但人的胖瘦不同，对于非标准的情况，身高与体重的关系应该以接近标准的程度来描述，这就导致产生如表 14.9所示的模糊关系。它能更深刻、更完整地给出身高与体重的对应关系。例 14-7 设有一组同学（徐 X，张 X，王 X），他们选修英，日，俄，法四种外语中的任几门，他们选修和结业成绩如下：徐 X 英语 85徐 X 日语 70徐 X 俄语 75张 X 英语 90 王 X 英语 70王 X 法语 80 R(A,B) BiAi40 50 60 70 80140 1
11、0.8 0.2 0.1 0150 0.8 1 0.8 0.2 0.1160 0 0 1 0.8 0.2170 0 0 0.8 1 0.8180 0 0.1 0.2 0.8 1表 14.9 身高与体重的模糊关系用 A表示学生集合： A=徐 X，张 X，王 X，用 B表示语种集合： B=英，日，俄，法 。若用成绩除以 100折合成隶属度来描述掌握外语的程度，则由如表 14.10可以构造出一个在 AB直积空间中存在的模糊关系 ，用它来表示小组成员 “掌握外语程度 ”的模糊关系。二、模糊矩阵1、矩阵矩阵可以用来表现关系，如果集合 A有 m个元素，集合 B有 n个元素、我们可以用矩阵 R来表示由集合 A
12、到集合 B的关系英 语 俄 语 日 语 法 语徐 X 0.85 0.75 0.70 0张 X 0.90 0 0 0王 X 0.70 0 0 0.8表 14.10 掌握外语的程度r11 r12 r1n R= r21 r22 r2nrm1 rm2 rmn其中 rij=0或 1， 1im， 1jn。2、模糊矩阵当论域 AB为有限集时，模糊关系可以用矩阵形式来表示，该矩阵元素 rij 仅在闭区间 0， 1中取值，即 0 rij 1， 此矩阵称为模糊矩阵。r11 r12 r1n = r21 r22 r2nrm1 rm2 rmn其中 0rij1， 1im， 1jn。模糊矩阵是研究模糊关系的重要工具，当它用来表示模糊关系时，其中模糊矩阵是研究模糊关系的重要工具，当它用来表示模糊关系时，其中rij表示集合表示集合 A中第中第 i个元素和集合个元素和集合 B中第个中第个 j元素之间的关联程度，例元素之间的关联程度，例 14-7中小组中小组成员外语成员与外语学科的关联程度可以用如下矩阵形式表示它们之间的模糊成员外语成员与外语学科的关联程度可以用如下矩阵形式表示它们之间的模糊关系。关系。0.85 0.70 0.70 0 = 0.90 0 0 00.70 0 0 0.80
