1、第二章 随机变量及其分布 v 2.5 随机变量函数的分布 v 设 g(x)是定 义 在随机 变 量 X的一切可能 值 x的集合上的函数，若随机 变 量 Y随着 X取 x的 值 而取 y=g(x)， 则 称随机 变 量 Y为 随机 变 量 X的函数， 记为Y=g(X). v 例如，设 X为分子运动的速率，则分子运动的动能 Y=1/2 mX2(m为 分子的 质 量 )是随机 变 量 X的函数；v 设 M为 随机地落在以原点 O为圆 心 R为 半径的 圆 周上的 质 点， 则 M在 x轴上的投影 X=RcosZ(Z为 x轴与OM的夹角 )为随机变量 Z的函数 . v 对随机变量 X的函数 Y=g(X
2、)来 说 ，我 们 的 问题 是：如何根据已知的随机 变 量 X的分布 来 寻 求随机 变 量Y的分布 .v 当 X是离散型随机 变 量 时 ， g(X)的分布可直接由 X的分布列求得 . v 例 1 已知的分布列 为X 1 0 1 2P 0.1 0.2 0.3 0.4v 求 Y1=2X+1和 Y2=X2的分布 . v 解 :P 0.1 0.2 0.3 0.4X 1 0 1 2Y1=2X+1 1 1 3 5Y2=X2 1 0 1 4v 因此， Y1=2X+1的分布列 为Y1=2X+1 1 1 3 5P 0.1 0.2 0.3 0.4v 至于 Y2的分布列，只需注意 Y2取的值有重复相同的，应当
3、把相同的值所对应的概率按概率的加法公式加起来，这样就得到 Y2=X2的分布列 为v 至于 Y2的分布列，只需注意 Y2取的值有重复相同的，应当把相同的值所对应的概率按概率的加法公式加起来，这样就得到 Y2=X2的分布列 为Y2=X2 0 1 4P 0.2 0.4 0.4v 下面考 虑连续 型随机 变 量函数的分布 问题v 现 在的 问题 是：已知随机 变 量 X的概率密度 fX(x)，求随机 变 量 Y=g(X)的概率密度 fY(y).v 今后分 别 以 FX(x)和 FY(y)表示随机 变 量 X与 Y的分布函数 . v 首先，我 们 指出：如果某随机 变 量 X的分布函数F(x)连续 ，并
4、且除了有限个点之外， 导 函数 F(x)存在且 连续 ，那么令v 则v (可用牛 顿 莱布尼 兹 公式 证 明 )，故 该 随机 变 量为连续 型的且其概率密度 为 上面确定的 f(x). v 在求 Y=g(X)的概率密度 时 ，只要 Y的分布函数FY(y)满 足上述的条件，就可以先求 FY(y)， 然后再求其 导 数 FY(y)而得到 结 果 .v 这 种方法，称之 为 “ 分布函数法 ” . v 例 2 设 X是 连续 型的随机 变 量，其概率密度 为 fX(x)， 分布函数 为 FX(x)，求 Y=aX+b(a, b为 常数 ,a 0)的概率密度？v 解 先求 Y的分布函数 FY(y)v 当 a0时 v 当 a0时v 由于 FY(y)存在且 连续 ，故
