1、目录 上页 下页 结束概率统计教研室一、协方差与相关系数的概念及性质二 、 相关系数的意义三、小结第三节 协方差及相关系数目录 上页 下页 结束概率统计教研室协方差和相关系数1. 问题的提出 一、协方差与相关系数的概念及性质 对于二维随机向量 (X,Y)来说 ,数学期望只反映了 X与 Y各自的平均值 ,方差只反映了 X与 Y各自离开均值的偏离程度 ,它们对 X与 Y之间相互关系不提供任何信息 . 但二维随机向量 (X,Y)的概率密度 f(x,y)或分布律pij全面地描述了 (X,Y)的统计规律 ,也包含有 X与 Y之间关系的信息 .我们希望有一个数字特征能够在一定程度上反映这种联系 .目录 上
2、页 下页 结束概率统计教研室在讨论这个问题之前，我们先看一个例子。 在研究子女与父母的相象程度时，有一项是关于父亲的身高和其成年儿子身高的关系。1. 问题的提出 目录 上页 下页 结束概率统计教研室这里有两个变量，一个是父亲的身高，一个是成年儿子身高 .为了研究二者关系，英国统计学家皮尔逊收集了 1078个父亲及其成年儿子身高的数据 , 画出了一张散点图。儿子的身高父亲的身高问：父亲及其成年儿子身高存在怎样的关系呢？fatherson1. 问题的提出 目录 上页 下页 结束概率统计教研室类似的问题有：1、吸烟和患肺癌有什么关系？2、受教育程度和失业有什么关系？3、高考入学分数和大学学习成绩有什
3、么关系？?目录 上页 下页 结束概率统计教研室协方差1. 问题的提出 目录 上页 下页 结束概率统计教研室因此 ,方差是协方差的特例 ,协方差刻画两个随机变量之间的 “某种 ”关系 .2. 定义特别 , 若 X=Y,则 cov(X,X)=E(X-E(X)2=D(X)对两个随机向量 (X,Y),若 存在，则称 为 X和 Y的协方差 .目录 上页 下页 结束概率统计教研室对对 于任意随机于任意随机 变变 量量 X与与 Y,总总 有有 由由 协协 方差定方差定 义义 得得这这 是是 计计 算算 协协 方差的方差的 常用公式常用公式. 可见，若 X与 Y独立，则 Cov(X,Y)= 0 .Cov(X,
4、Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 3. 计算目录 上页 下页 结束概率统计教研室(4) Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y) (2) Cov(X,X)=D(X)4.协方差的性质(3) Cov(aX,bY)=abCov(X,Y) 其中 a、 b是常数(1) Cov(X,Y)=Cov(Y,X) (对称性 )特别的 : Cov(X,c)=0 (c为常数 )(5) 若 X与 Y独立，则 Cov(X,Y)= 0 .目录 上页 下页 结束概率统计教研室 协方差的数值在一定程度上反映了 X与 Y相互间的联系 ,但它受 X与 Y本身数值大小的影响 .如令 X*=kX,Y*=kY,这时 X*与 Y*间的相互联系和 X与 Y的相互联系应该是一样的 ,但是Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y) 为了克服这一缺点 ,在计算 X与 Y的协方差之前 ,先对 X与 Y进行标准化 : 再来计算 X*和 Y*的协方差，这样就引进了相关系数的概念 .
