1、广东工业大学计算机学院主要内容l7.1 有序对与笛卡儿积l7.2 二元关系l7.3 关系的运算l7.4 关系的性质第七章 二元关系l7.5 关系的闭包l7.6 等价关系与划分l7.7 偏序关系1广东工业大学计算机学院7.1 有序对与笛卡儿积定义 7.1 由两个元素 x 和 y，按照一定的顺序组成的二元组称为 有序对 ，记作 .有序对性质 : (1) 有序性 （当 xy时） (2) 与 相等的充分必要条件是= x=u y=v. 2广东工业大学计算机学院笛卡儿积定义 7.2 设 A,B为集合， A与 B的 笛卡儿积 记作 AB，且AB = | xA yB.例 1 A = 1, 2, 3, B =
2、a, b, cAB=, BA=, A=, B=P(A)A = , P(A)B = 3广东工业大学计算机学院笛卡儿积的性质(1) 不适合交换律 AB BA (AB, A, B)(2) 不适合结合律(AB)C A(BC) (A, B, C)(3) 对于 并 或 交 运算满足分配律A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA) A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA) (4) 若 A 或 B 中有一个为空集，则 AB 就是空集 .A = B = (5) 若 |A| = m, |B| = n, 则 |AB| = mn 4广东工业大学计算机学院笛卡尔积图示A
3、B CA(BC) = (AB)(AC)ACBD ABCDBA CD5广东工业大学计算机学院性质证明证明 A(BC) = (AB)(AC)证 任取 A(B C) x A y B C x A (y B y C) (x A y B) (x A y C) AB AC (AB) (AC)所以有 A(B C) = (AB) (AC).6广东工业大学计算机学院实例例 2 (1) 证明 A=B, C=D AC=BD (2) AC = BD是否推出 A=B, C=D? 为什么？解 (1) 任取 AC xAyC xByD BD(2) 不一定 . 反例如下：A = 1， B = 2, C = D = , 则 AC
4、= BD但是 A B. 7广东工业大学计算机学院7.2 二元关系定义 7.3 如果一个集合满足以下条件之一：(1) 集合非空 , 且它的元素都是有序对(2) 集合是空集则称该集合为一个 二元关系 , 简称为关系，记作 R.如果 R, 可记作 xRy；如果 R, 则记作 x y实例： R = , , S = , a, b. R是二元关系 , 当 a, b不是有序对时， S不是二元关系根据上面的记法，可以写 1R2, aRb等 . 注意： 关系是笛卡尔积的子集8广东工业大学计算机学院A到 B的关系与 A上的关系定义 7.4设 A, B为集合 , AB的任何子集所定义的二元关系叫做 从A到 B的二元
5、关系 , 当 A=B时则叫做 A上的二元关系 .例 3 A=0, 1, B=1, 2, 3, 那么 R1=, R2=AB, R3=, R4=R1, R2, R3, R4是从 A 到 B 的二元关系 , R3 和 R4 也是 A上的二元关系 . 计数 : |A|=n, |AA|=n2, AA的子集有 个 . 所以 A上有 个不同的二元关系 . 例如 |A| = 3, 则 A上有 512个不同的二元关系 . 9广东工业大学计算机学院A上重要的关系的实例定义 7.5 设 A 为集合 , (1) 是 A上的关系，称为 空关系(2) 全域关系 EA = | x A y A = AA 例如 A=1, 2, 则 EA = , , , 恒等关系 IA = | x A 例如 A=1, 2, 则 IA = , 小于等于关系 LA = | x, y A xy, A为实数子集例如 A = 1, 2, 3, B=a, b, 则LA = , , , , , 10
