1、离散数学 第三篇几个典型的代数系统第 六 章 几个典型的代数系统离散数学 第三篇几个典型的代数系统第六章 几个典型的代数系统6.1 半群与群6.1.1 半群 与独异点6.1.2 群 的定义与性质6.1.3 子群6.1.4 陪集与拉格朗日定理6.1.5 正规子群与商群6.1.6 循环群和置换群6.2 环与域6.2.1 环的定义与性质6.2.2 整环与域6.3 格与布尔代数离散数学 第三篇几个典型的代数系统6.1 半群与群 半群、可交换半群和独异点定义 6.1 设 V=是代数系统 , 为二元运算 ,如果 是 可结合 的 , 则称 V为 半群 如果半群 V=中的二元运算 含有幺元 , 则称 V为 含
2、幺半群 , 也可叫做 独异点 .定义 6.2 如果半群 V=中的二元运算 是 可交换 的 , 则称 V为可交换半群 .注 : 为了强调幺元的存在 , 有时将独异点记为6.1.1 半群与独异点离散数学 第三篇几个典型的代数系统例 6.1 是半群 ,都是半群和独异点，其中 +表示普通加法 ,幺元是 0, 是半群和独异点 ,其中 表示矩阵乘法 ,矩阵乘法的幺元是 n阶单位矩阵 E.记作 是半群和独异点 ,其中 表示集合的对称差运算 , 其幺元是 , 记作 是半群和独异点 , 其中 Zn =0,1,n-1, 表示模 n加法 , 模 n加法的幺元是 0. 其中 : 为可交换半群 .6.1.1 半群与独异
3、点离散数学 第三篇几个典型的代数系统例 6.2 判断下述论断正确与否 , 在相应的括号中键入 “Y”或 “N”.(1) 在实数集 R上定义二元运算 *为：对于任意的a,b R, a*b=a+b+ab(a) 是一个代数系统； ( ) (b) 是一个半群； ( ) (c) 是一个独异点。 ( )(2) 在实数集 R上定义二元运算 为 , 对任意 a,b R, ab=|a|b (其中 表示通常数的乘法运算 )(a) 是一个代数系统； ( ) (b) 是一个半群； ( ) (c) 是一个独异点。 ( ) 6.1.1 半 群NYYYYY离散数学 第三篇几个典型的代数系统 子半群和子独异点定义 : 半群的
4、子代数叫做 子半群 ,即 : 如果 V=是半群 , 就是 V的子半群 ,需要满足如下两个条件 : T是 S的非空子集 ; T对 V中的运算 是封闭的 .定义 : 独 异点的子代数叫做 子独异点 ,对独异点 V=, 构成 V的子独异点 ,需要满足如下条件 : T是 S的非空子集 ; T要对 V中的运算 封闭 ; e T.6.1.1 半群与独异点离散数学 第三篇几个典型的代数系统群的定义定义 6.3 设 是代数系统 , 为二元运算 . 如果 是可结合的 , 存在幺元 e G, 并且 G中的任意元素 x, 都有 x-1 G, 则称 G是 群 .例 6.3 ,都是群 ; 是群 , 其中 表示集合的对称
5、差运算 , 任意 元素的逆元是其自身 ; 是群 ,其中 Zn=0,1,n-1, 表示模 n加法 , 0的逆元是 0,非 0元素的逆元是 n-x.6.1.2 群 的定义与性质离散数学 第三篇几个典型的代数系统6.1.2 群 的定义与性质e为 G中的幺元 , 是可交换的 .任何 G中的元素与自己运算的结果都等于 e.在 a,b,c三个元素中 ,任何两个元素运算的结果都等于另一个元素 .一般称这个群为 Klein四元群 .例 6.4 设 G e,a,b,c, 为 G上的二元运算 , 它由以下运算表给出 , 不难证明 G是一个群 .离散数学 第三篇几个典型的代数系统6.1.2 群 的定义与性质 群的术
6、语(1) 若群 G中的二元运算是可交换的 , 则称群 G为交换群 , 也叫做 阿贝尔 (Abel)群 例 , ,都是群 , 也是 阿贝尔(Abel)群 ; 是群 , 也是 阿贝尔 (Abel)群 ; 是群 , 也是 阿贝尔 (Abel)群 . Klein四元群也是 阿贝尔群(2) 若群 G中有无限多个元素 , 则称 G为 无限群 , 否则称为 有限群 , 只含幺元的群为 平凡群 .例如 , , 都是无限群 . 是有限群 . Klein四元群也是有限群 .离散数学 第三篇几个典型的代数系统6.1.2 群 的定义与性质群的术语(3) 群的阶 : 对于有限群 G,G中的元素个数也叫做G的 阶 , 记作 |G|.例如 : 是有限群 , 其阶是 n; Klein四元群也是有限群 , 其阶是 4.(4) xn定义 : x0=e, xn+1=xnx, x-n=(x-1)n(5) 元素 x的阶 : 设 G是群 , x G, 使得 xk e成立的最小的正整数 k叫做 x的阶 (或周期 ). 如果不存在正整数 k, 使 xk e, 则称 x是无限阶元 .注 : 对有限阶的元素 x, 通常将它的阶记为 |x|.在任何群 G中幺元 e的阶都是 1
