1、第二讲 一阶 /谓词逻辑在 Ls中，把命题分解到原子命题为止，认为原子命题是不能再分解的，仅仅研究以原子命题为基本单位的复合命题之间的逻辑关系和推理。这样，有些推理用命题逻辑就难以确切地表示出来。例如，著名的亚里士多德三段论苏格拉底推理：退出退出所有的人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。根据常识，认为这个推理是正确的。但是，若用 Ls来表示，设 P、 Q和 R分别表示这三个原子命题，则有 P， QR然而， (P Q) R并不是永真式，故上述推理形式又是错误的。一个推理，得出矛盾的结论，问题在哪里呢 ? 问题就在于这类推理中，各命题之间的逻辑关系不是体现在原子命题之间，而是体现在构
2、成原子命题的内部成分之间，即体现在命题结构的更深层次上。对此， Ls是无能为力的。所以，在研究某些推理时，有必要对原子命题作进一步分析，分析出其中的个体词，谓词和量词，研究它们的形式结构的逻辑关系、正确的推理形式和规则，这些正是谓词逻辑（简称为 Lp） 的基本内容。2.1 个体、谓词和量词2.2 谓词公式与翻译2.3 约束变元与自由变元2.4 公式解释与类型2.5 等价式与蕴涵式2.6 谓词公式范式2.7 谓词逻辑的推理理论2.1 个体、谓词和量词在 Lp中，命题是具有真假意义的陈述句。从语法上分析，一个陈述句由主语和谓语两部分组成。在 Lp中，为揭示命题内部结构及其不同命题的内部结构关系，就
3、按照这两部分对命题进行分析，并且把主语称为个体或客体，把谓语称为谓词。 .个体、谓词和命题的谓词形式定义 2.1.1 在原子命题中，所描述的对象称为个体；用以描述个体的性质或个体间关系的部分，称为谓词。个体，是指可以独立存在的事物，它可以是具体的，也可以是抽象的，如张明，计算机，精神等。表示特定的个体，称为个体常元，以 a，b， c 或带下标的 ai， bi， ci 表示；表示不确定的个体，称为个体变元，以 x， y， z 或 xi， yi， zi 表示。谓词，当与一个个体相联系时，它刻划了个体性质；当与两个或两个以上个体相联系时，它刻划了个体之间的关系。表示特定谓词，称为谓词常元，表示不确定
4、的谓词，称为谓词变元，都用大写英文字母，如 P， Q， R， ， 或其带上、下标来表示。例如，在命题 “张明是位大学生 ”中， “张明 ”是个体， “是位大学生 ”是谓词，它刻划了 “张明 ”的性质。设 S： 是位大学生， c： 张明，则 “张明是位大学生 ”可表示为 S(c)， 或者写成 S(c)： 张明是位大学生。又如，在命题 “武汉位于北京和广州之间 ”中，武汉、北京和广州是三个个体，而 “ 位于 和 之间 ”是谓词，它刻划了武汉、北京和广州之间的关系。设 P： 位于 和 之间， a： 武汉， b： 北京， c： 广州，则 P(a， b， c)： 武汉位于北京和广州之间。定义 2.1.2
5、 一个原子命题用一个谓词 (如 P)和 n个有次序的个体常元 (如 a1， a2， ， an)表示成P(a1， a2， ， an)， 称它为该原子命题的谓词形式或命题的谓词形式。应注意的是，命题的谓词形式中的个体出现的次序影响命题的真值，不是随意变动，否则真值会有变化。如上述例子中， P(b,a,c)是假。 .原子谓词公式原子命题的谓词形式还可以进一步加以抽象，比如在谓词右侧的圆括号内的 n个个体常元被替换成个体变元，如 x1,x2,xn， 这样便得了一种关于命题结构的新表达形式，称之为 n元原子谓词。定义 2.1.3 由一个谓词 (如 P)和 n个体变元 (如 x1，x2， ， xn)组成的 P(x1， x2， ， xn)， 称它为 n元原子谓词或 n元命题函数，简称 n元谓词。而个体变元的论述范围，称为个体域或论域。
