1、离散数学 第五章代数系统的一般性质第 三 篇 代数系统第五章 代数系统的一般性质第六章 几个典型的代数系统离散数学 第三篇代数系统离散数学 第五章代数系统的一般性质引入这一部分在集合、关系和函数等概念基础上，研究更为抽象的对象 代数系统。所谓的代数系统是由集合和集合上定义若干个运算而组成的系统。称之为代数系统。 主要研究代数系统的性质和特殊的元素；代数系统与代数系统之间的关系，如代数系统的同态和同构。主要内容如下：5.1 二元运算及其性质 5.2 代数系统 5.3 同态与同构6.1 半群 6.2 群 6.3 环与域离散数学 第三篇代数系统离散数学 第五章代数系统的一般性质5.1.1 二元运算的
2、基本概念定义 5.1 设 S为集合 ,函数 f:SSS 称为 S上的一个二元运算 ,简称为 二元运算 .f:NNN , f() x y例如 : 普通的减法不是自然数集合上的二元运算 ,因为两个自然数相减可能得负数 ,而负数不属于 N.这时也称 集合 N对减法运算 不封闭 .例 5.11)自然数集 N上的乘法是 N上的二元运算 ,但除法不是 .5.1 二元运算及其性质离散数学 第五章代数系统的一般性质2)整数集合 Z上的加法、减法和乘法是 Z上的二元运算 ,而除法不是 .3)非零实数集 R*上的乘法和除法都是 R*上的二元运算 ,而加法、减法不是 .4)设 Mn(R)表示所有 n阶实矩阵的集合
3、(n2), 即则矩阵加法和 乘法都是 Mn(R)上的二元运算 .5)S为任意集合 ,则 ,-,为 S的幂集 P(S)上的二元运算 .6)S为集合 ,SS是 S上的所有函数的集合 , 则合成运算 是 SS上的二元运算 .5.1 二元运算及其性质离散数学 第五章代数系统的一般性质5.1 二元运算及其性质5.1.1 二元运算的基本概念 算符 : 通常用 ,*, 等符号表示二元运算 , 称为算符 .设 f:SSS 是 S上的二元运算 ,对任意的 x,yS,如 x与 y的运算结果 是 z, 即 f() z,可利用算符 简记为 xy=z离散数学 第五章代数系统的一般性质5.1 二元运算及其性质 N元运算定
4、义 5.2 设 S为集合 ,n为正整数 ,则函数 称为 S上的一个 n元运算 , 简称为 n元运算 .例 : 求一个数的相反数是实数集 R上的 一元运算 ;求一个数的倒数是非零实数集 R*上的 一元运算 ;在幂集合 P(S)上 , 如果规定全集为 S, 那么求集合的绝对补运算可以看作是 P(S)上的 一元运算 ;在空间直角坐标系中求某一点 (x,y,z)的坐标在 x轴上的投影可以看作是实数集 R上的 三元运算 , 因为f()=x, 参加运算的是 3个有序实数 , 结果也是实数 .离散数学 第五章代数系统的一般性质5.1.1 二元运算的基本概念使用算符表示 n元运算若 f()=b, 则可记为 (
5、a1,a2,an) b前 缀 表示法：(a ) b 一元运算 ,(a1,a2) b 二元运算 , (a1,a2,a3) b 三元运算 .如果集合 S是有穷集 , S上的一元和二元运算也可以用运算表给出 . 表 5.1和 5.2是一元和二元运算表的一般形式 .注意 : 本书所涉及的代数系统仅限于一、二元运算5.1 二元运算及其性质离散数学 第五章代数系统的一般性质离散数学 第五章代数系统的一般性质5.1 二元运算及其性质5.1.1 二元运算的基本概念例 5.2 设 S 1,2, 给出 P(S)上的运算 和 的运算表 , 其中全集为 S.解 : 所求的运算表如表 5.3、表 5.4所示 .离散数学 第五章代数系统的一般性质5.1 二元运算及其性质5.1.1 二元运算的基本概念例 5.3 设 S=1,2,3,4, 定义 S上二元运算如下： xy =(xy)mod 5, x,yS, 求 的运算表 .解 : (xy)mod 5是 xy除以 5的余数 , 得运算表如下 : 1 2 3 41 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1
