1、 14.2.1 代数系统的定义与实例 14.2.2 代数系统的分类 14.2.3 子代数系统与积代数系统 14.2.4 代数系统的同态与同构14.2 代数系统1代数系统定义与实例定义 14.7 非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f1, f2, , fk 组成的系统称为一个 代数系统 , 简称 代数 ，记作. 实例：,是代数系统，+和 分别表示普通加法和乘法 . 是代数系统，+和 分别表示 n 阶 (n2)实矩阵的加法和乘法 . 是代数系统， Zn 0, 1, , n1 ，和 分别表示模 n 的加法和乘法，对于 x, y Zn，xy=(x y)modn， xy=(xy)modn也是
2、代数系统， 和 为并和交， 为绝对补 2代数系统的分类定义 14.8 (1) 如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称它们是 同类型的 代数系统 .(2) 如果两个同类型的代数系统对应的运算所规定的运算性质也相同，则称为 同种的 代数系统 . P357例 1 V1 = , V2 = , 为 n 阶全 0 矩阵， E 为 n 阶单位矩阵V3 = 3V1 V2 V3+ 可交 换 , 可 结 合 可交 换 , 可 结 合+ 满 足消去律 满 足消去律 对 +可分配+ 对 不可分配+ 与 没有吸收律+ 可交 换 , 可 结 合 可交 换 , 可 结 合+ 满
3、足消去律 满 足消去律 对 +可分配+ 对 不可分配+ 与 没有吸收律 可交 换 , 可 结 合可交 换 , 可 结 合 不 满 足消去律 不 满 足消去律对 可分配 对 可分配 与 满 足吸收律V1, V2, V3是同类型的代数系统V1, V2是同种的代数系统V1, V2与 V3不是同种的代数系统 P357实例 三个代数系统的比较4子代数定义 14.9 设 V= 是代数系统， B 是 S 的非空子集 ，如果 B 对 f1, f2, , fk 都是封闭的，且 B 和 S含有相同的代数常数，则称 是 V 的 子代数系统 ，简称 子代数 . 有时将子代数系统简记为 B.实例N是 的子代数， N也是
4、 的子代数N0是 的子代数，但不是 的子代数说明：子代数和原代数是同种的代数系统对于任何代数系统 V，其子代数一定存在 . 5关于子代数的术语最大的子代数：就是 V本身最小的子代数： V中所有代数常数构成集合 B，且 B对 V中所有运算封闭，则 B就构成了 V的最小的子代数平凡的子代数 ：最大和最小子代数称为 V的平凡子代数真子代数 ：若 B是 S的真子集，则 B构成的子代数称为 V的真子代数 .例 2 设 V=，令 nZ = nz | z Z， n 为自然数，则 nZ 是 V 的子代数 , 当 n = 1 和 0 时， nZ 是 V 的平凡的子代数，其他的都是 V 的非平凡的真子代数 . 6
5、积代数定义 14.10 设 V1=和 V2=是代数系统，其中 和 是二元运算 . V1与 V2 的 积代数V=, , S1S2 , = 例 3 V1=, V2=, 积代数 , ZM2(R) , = 7积代数的性质设 V1=和 V2=是代数系统，其中 和 是二元运算 . V1 与 V2 的 积代数 是 V= (1) 若 和 运算是可交换的，那么 运算也是可交 换 的(2) 若 和 运算是可结合的，那么 运算也是可 结 合的(3) 若 和 运算是幂等的，那么 运算也是 幂 等的(4) 若 和 运算分别具有单位元 e1 和 e2，那么 运算 也具有 单 位元 (5) 若 和 运算分别具有零元 1 和 2，那么 运算 也具有零元 (6) 若 x 关于 的逆元为 x1, y 关于 的逆元为 y1，那么 关于 运算也具有逆元 (7) 消去率不一定保持。 P359 8代数系统的同态与同构 同态映射的定义 同态映射的分类 单同态、满同态、同构 自同态 同态映射的实例 满同态映射的性质9定义 14.11 设 V1=和 V2=是代数系统，其中 和 是二元运算 . f : S1S2, 且 x,yS1f (x y) = f(x) f( y) 则称 f 为 V1到 V2 的 同态映射 ，简称 同态 . 同态映射的定义10
