1、114.3 几个典型的代数系统 14.3.1 半群与独异点 14.3.2 群 14.3.3 环与域 14.3.4 格与布尔代数2 半群与独异点的定义与实例 半群与独异点的幂运算 半群与独异点的子代数和积代数 半群与独异点的同态半群与独异点3半群与独异点的定义定义 14.12(1) 设 V=是代数系统， 为二元运算，如果 运算是 可结合 的，则称 V 为 半群 .(2) 设 V=是半群，若 e S 是关于 运算的 单位元 ，则称 V 是 含幺半群 ，也叫做 独异点 . 有时也将独异点 V 记作 V=. 4实例例 1 (1) ,是半群， +是普通加法 , 其中除 外都是独异点 .(2) 设 n是大
2、于 1的正整数 ,和 都是半群和独异点，其中 +和 分别表示矩阵加法和矩阵乘法 .(3) 为半群，也是独异点，其中 为集合的对称差运算 .(4) 为半群，也是独异点，其中 Zn=0,1, , n1，为模 n加法 . (5) 为半群，也是独异点，其中 为函数的复合运算 .(6) 为半群，其中 R*为非零实数集合， 运算定义如下： x, y R*, xy = y. 5定义 (1) 在半群 中， x S，规定：x1=x， xn+1=xnx, n Z+(2)在独异点 中， x S，x0=e， xn+1=xnx， n N 用数学归纳法不难证明 x 的幂遵从以下运算规则：xnxm=xn+m， (xn)m=
3、 xnm， 在半群中 m, n Z+，在独异点中 m, nN，半群与独异点的幂运算6半群与独异点的子代数定义 半群与独异点的子代数分别称为 子半群 与 子独异点 . 判定方法： 设 V=是半群， TS， T 非空，如果 T 对 V 中的运算 封闭，则 是 V的子半群 .设 V=是独异点， TS， T 非空，如果 T 对 V 中的运算 封闭，而且 e T，那么 构成 V 的子独异点. 7是 T 的单位元， T 本身可以构成独异点，但不是V2 的子独异点，因为 V2的单位元是 e. 实例设半群 V1=，独异点 V2=. 其中 为矩阵乘法， e 为 2阶单位矩阵 , 且 ，则 TS，且 T 是 V1
4、=的子半群 . 8半群与独异点的同态定义 14.13(1) 设 V1=， V2=是半群， f :S1 S2. 若 对任意的 x, y S1有f (xy) = f (x)f (y) 则称 f 为半群 V1到 V2的同态映射，简称 同态 .(2) 设 V1=， V2=是独异点， f :S1 S2. 若对任意的 x, y S1有f(xy) = f(x)f(y) 且 f(e1)= e2,则称 f 为独异点 V1 到 V2 的同态映射，简称 同态 .9实例则 f 是半群 V1=的自同态，但不是独异点 V2=的自同态，因为 f(e)e. 设半群 V1=，独异点 V2=. 其中 为矩阵乘法， e 为 2阶单位矩阵 , 且 令10群 群的定义与实例 群中的术语 群的性质 子群的定义及判别 群的同态与同构 循环群 置换群
