1、第 5章 谓词逻辑的等值和推理演算n 谓词逻辑研究的对象是重要的逻辑规律，普遍有效式是最重要的逻辑规律n 等值和推理演算是谓词逻辑的基本内容n 同命题逻辑相比，由于量词谓词的引入，使谓词演算有着广泛的应用n 这章的讨论，主要是以语义的观点进行的非形式的描述，而严格的形式化的讨论见第 6章所建立的公理系统5.1 否定型等值式n 若给定了两个谓词公式 A， B，说 A和 B是等值的，如果在公式 A，B的任一解释下， A和 B都有相同的真值在谓词逻辑中，需要给出解释的内容包括 (见 P65):(1) 论域(2) 谓词变项(3) 命题变项(4) 函数(5) 自由个体n 等价的说法 :A， B等值当且仅
2、当 AB是普遍有效的公式记作 A B或 AB5.1.1 由命题公式移植来的等值式n 若将命题公式的等值式，直接以谓词公式代入命题变项便可得谓词等值式由 p p, pq= p q, (p q) r=(p r) (q r)可得1. P(x) P(x)2. (x)P(x) (x)P(x)3. P(x)Q(x) P(x) Q(x)4. (x)P(x)( x)Q(x) (x)P(x) (x)Q(x)5. (P(x) Q(x) R(x)=(P(x) R(x) (Q(x) R(x)6. (x)P(x) Q(y) (z)R(z)=(x)P(x) (z)R(z) (Q(y) (z)R(z)5.1.2 否定型等值
3、式 (摩根律的推广 ) (x)P(x)=(x) P(x) (x)P(x)=(x) P(x)n 形式上看这对公式，是说否定词 ” ”可越过量词深入到量词的辖域内，但要把所越过的量词转换为 ， 转换为 De Morgans Rule Generalized De Morgans Rule(1)从语义上说明n (x)P(x)语义上表示的是，并非所有的 x都具有性质 P这相当于，有一个 x不具有性质 P，这正是 (x) P(x)的含义 .n 由语义分析知 (x)P(x) 与 (x) P(x)表示的是同一命题，自然有 (x)P(x)=(x) P(x)(x)P(x)= (x) P(x)n 类似的有 (x)
4、P(x)=(x) P(x)(x)P(x)= (x) P(x)说明n (x)P(x)与 (x) P(x)不等值如 P(x)表示 x是有理数前者的语义是并非所有的 x都是有理数后者的语义是说所有的 x都不是有理数这两句话是不同的n (x)P(x)与 (x) P(x)也不等值 (x)P(x)=(x) P(x)(x) P(x)= (x)P(x)(2)在 1， 2域上分析n (x)P(x)= (P(1)P(2)= P(1) P(2)=(x) P(x)n (x)P(x)= (P(1)P(2)= P(1) P(2)=(x) P(x)(3)语义上的证明n 依等值式定义， A=B如果在任一解释 I下 A真 B就真，而且 B真 A就真若证明 (x)P(x)=(x) P(x)1. 设任一解释 I下有 (x)P(x)=T从而 (x)P(x)=F，即有一个 xoD,使 P(Xo)=F于是 P(xo)=T 故在 I下 (x) P(x)=T2. 反过来，设任一解释 I下有 (x) P(x)=T即有一个 xoD,使 P(Xo)=T 从而 P(Xo)=F于是 (x)P(x)=F即 (x)P(x)=T(4) 举例例 1 “并非所有的动物都是猫 ”的表示设 A(x)： x是动物B(x)： x是猫原语句可表示成 (x)(A(x)B(x)依否定型公式得
