1、代数系统内容提要 在集合上可以定义若干个运算 由这些运算而组成的系统 在计算机科学中应用广泛 主要内容 : 运算及其性质、群、环、域、格代数和布尔代数等。代数系统集合上的运算 对于集合 A中 任意元素 x的一种映射 F(x): 一元运算 任意 n个元素 x1, x2, , xn, 一种映射F(x1, x2, , xn): n元运算 例如：自然数集合上定义的普通加法、乘法等，都是二元运算。 比较：集合之间定义的运算和集合上定义的运算代数系统代数系统的引入 设 f1, f2, , fk 是 在非空集合 A上定义的运算，这些运算与集合组成一个代数系统，记作 . 当运算只有一种时，通常写作 ， 而 运
2、算 f 通常表示成 *， , , , , , 等。代数系统封闭性与唯一性 *是集合 A上的一个二元运算，如果对于任意的 x, y A, 都有 x*y A, 则称 *在集合 A上是封闭的。 *是集合 A上的一个二元运算，如果对于任意的 x, y A, x*y都是 A中的唯一元素 , 则称 *在集合 A上是唯一的。代数系统交换律与结合律 交换律： *是集合 A上的一个二元运算，如果对于任意的 x, y A, 都有 x*y=y*x, 则 称 *是可交换的。 结合律： *是集合 A上的一个二元运算，如果对于任意的 x, y, z A, 都有 (x*y)*z=x*(y*z), 则称 *是可结合的。代数系
3、统分配律 设 , 是集合 A上的两个二元运算，如果对于任意的 x, y, z A, 都有x(y z) = (xy) (xz)(y z)x = (yx) (zx)则称运算 对于运算 是可 分配的。代数系统吸收律 设 , 是集合 A上的两个可交换的二元运算，如果对于任意的 x, y, z A, 都有x(x y) = xx ( xy) = x则称运算 和 满足吸收律。代数系统等幂 性 *是集合 A上的一个二元运算，如果对于任意的 x A, 都有 x*x=x, 则称运算 *是等幂 的。代数系统运算表 *是定义在集合 A上的二元运算， A是有限集， A=x1, x2, , xn,那么对于任意的xi, x
4、j A, xi* xj 的结果放在以 xi 为 行、 xj为列所 组成的一个表格内。 例如* a ba a*a a*bb b*a b*b代数系统单位元（幺元） 左幺元： *是集合 A上的一个二元运算，如果 A中存在一个元素 el, 对于任意的 x A, 都有 el*x=x, 则称 el为 A中关于运算 *的左幺元； 右幺元： *是集合 A上的一个二元运算，如果 A中存在一个元素 er, 对于任意的 x A, 都有 x*er=x, 则称 er为 A中关于运算 *的右幺元； 如果 A中存在一个元素 e既是左幺元又是右幺元，则 称 e是 A中关于运算 *的幺元。 显然，对于任意的 x A, 都有 e*x=x*e=x.
