1、* zhengjin,csu 1第六章 代数 代数 :也叫代数结构，或代数系统，是指定义有若干运算的集合。如整数集合，在其上定义了加法、乘法，就成为一个 代数系统 。 抽象代数：1. 不关心代数系统的具体集合是什么2. 不关心集合上的运算如何定义3. 假设这些运算满足某些规则(如结合律，交换律，分配律等 )，然后根据这样的抽象代数系统，来讨论该系统应具有的性质，使所得结论具有普遍意义。* zhengjin,csu 2本章主要内容1.代数的基本概念，如代数的构成、代数的表示、代数的特异元素；子代数的概念 (6.1,6.2)2.代数间的同构、同态概念，同态象的概念 (6.3)3.一种特殊的等价关系
2、 同余关系 ,商代数 (6.4,6.5)4.特殊的代数：半群，独异点 , 群 (6.6,6.7)5. 特殊的代数：环和域 (6.8)* zhengjin,csu 3代数的结构代数由 3部分构成：1. 一个 集合 -（代数的载体）2. 定义在载体上的 运算3. 载体中的特异元素，叫做 代数的常数（么元和零元）代数通常用 载体 、 运算 和 常数 的 n重组表示 通俗地说 ：代数就是由集合及定义在其上的运算及相关常数组成。 * zhengjin,csu 4载体与载体上的运算（）运算的概念具有一定的广泛性与抽象性，它不仅包括日常用的 “+”， “-”， “ ”， “/” 等运算，也包括抽象的运算，如
3、集合的 “并 ”， “交 ”，字符串的 “并 ”等。（）在集合 S上的运算可以有多个，如在实数域上的 “+”， “ ”。运算可以是一元的，也可以是二元的，也可以是多元的。即是从 Sm到 S的函数。但一般代数系统在 S上的运算最多不超过三个，而且以研究一元、二元为限。* zhengjin,csu 5运算的表示p 例如 :A=1,3,5,7 , 定义一种一元运算 和二元运算 * 表示如下 :* zhengjin,csu 6载体上的运算（）运算符的表示： “”或 “*”、 “ ”等。有时也用“+”， “ ”等表示。但此时 “+”， “ ”的含义不一定就是普通算术运算中的 “加 ”与 “乘 ”的含义，
4、所有这些运算符的含义可以根据不同的定义而具有不同的意义。（）运算在载体 S上还应该是 封闭的 。 (载体 S中的元素经某一运算后它的结果仍在 S中，则此称运算在集合 S上是封闭的 )* zhengjin,csu 7代数举例例 1 整数集，加法和常数 0可构成代数：记为： 例 2 幂集合 (S )，集合的并，交，补运算，常数 ， 和 S可构成代数。记为： 例 3 自然数集 N，乘法和常数 1可构成代数。记为： 例 4 自然数集 N，乘法、加法和常数 0和 1可构成代数。记为： * zhengjin,csu 8代数分类通常我们不去研究单个的具体的代数，而是对代数进行分类研究。分类原则如下：1.有相
5、同的构成成分。（即如果两个代数包含同样个数的运算和常数，且对应运算的元数相同，则这两个代数有相同的构成成分。）2.服从相同的公理规则。如：交换律，结合律，分配律，吸收律等。具有相同构成成分和服从相同的公理规则的代数就称为是同种类的。对同一种类的代数，根据它的公理推出的定理对该种类的一切代数都成立。* zhengjin,csu 9(1)如代数 和 有相同的构成成分 .(都只有一个运算 ,且都是二元运算 ,和 1个常数 ).(2)代数和 (S), ， ,S (都有两个二元运算 ,两个常数 )* zhengjin,csu 10公理规则例 3： 对于自然数集 N，及定义其上的加法运算 +，构成的代数： 服从公理规则：a+b=b+a 交换律(a+b)+c=a+(b+c) 结合律 a+0=a 0是 么元 （单位元） 则： 和 等是和其同一类的代数 (因为都只有一个二元运算，都满足交换律，结合律，一个常数是么元 )。
