1、 第三章 函数1.函数的基本概念2.函数的复合3.集合的基数 势理论1第三章 函数（ function）1.函数基本概念定义 1.函数 (映射 (map)、 变换 (transformation)函数是后者唯一的关系。即 f是由 X到 Y的函数，记为 f :XY f XY(xX)(yY)(zY)(x, y)f (x, z)f y=z)。注：函数概念主要是限制了关系概念中的一对多；但允许多对一；fYf(a)aX函数的图象f2与函数概念关联的一些概念(1)若 (x, y)f ， 则 函数惯用的记法是 y= f(x)；称 x为自变量， 称 y为因变量。(2)此定义可容纳多值函数 f :XY ， f(
2、x) = y1, y2 , ,yk其 修改为 f :X2Y ， f(x) = y1, y2 , ,yk2Y 。(3)定义域 (domain)：称 f的前域为 f的定义域。即D(f)=x : xX (yY)(x, y)f )=x : xX (yY)(y= f(x)(4)值域 (range)：称 f的后域为 f的值域。即R(f)= y : yY(xX)(x, y)f )=y : yY(xX)(y= f(x) 。D(f) R(f)X Yf函数的定义域和值域 3(5)象 (image)： 子集 A X的象定义为f(A)=y : yY(xA)(x, y)f )=y : yY(xA)(y= f(x) 。(
3、6)逆象 (inverse image)： 子集 BY的逆象定义为f -1(B) =x : xX(yB)(x, y)f )=x : xX(yB)(y= f(x) ；fX Y集合的象A D(f) f(A) R(f)X Yf -1(B)集合的逆象BD(f) R(f)f4特别地，单元素 yY的逆象是f -1(y) =x : xX(x, y)f =x : xXf(x)=y 。(7)全函数（ full function）： 处处有定义的函数。即 D(f)=X （ 或者 f -1(Y) = X）(8)偏函数 (partial function)：部分有定义的函数。即 D(f)X （或者 f -1(Y)X）
4、 。XD(f)D(f)X5例 1.投影函数（ projection function）uni :X1 X2 Xn Xi uni(x1 , x2 , , xn) = xi ( i=1,2, ,n )例 2截痕函数 (cross function)： f :X2XY ，f(x) = xY 。例 3.计算机是一个函数。即计算机 :输入空间 输出空间；编译是一个函数。即 编译 :源程序 目标程序。例 4. 一种定义离散函数的方式是采用下面的分段定义形式。即 f :N N 。XYxYYX x6例 5.绝对值函数 (absolute value function) f =(x,|x|) : xR (这里
5、R是实数集 ) 或者f :RR+0 ， f(x) = |x| (这里 R+=x: xRx0是正实数集 )，于是D(f)=R , R(f)=R+0；绝对值函数可以拆成两个函数的并。即 f = f1 f 2 ，这里 f1 =(x,x) : xR x0，D(f1)=R+0 , R(f1)=R+0；f2 =(x,-x) : xR x0， D(f2)=R- , R(f2)=R+ ；(这里 R-=x: xRx 0是负实数集 )，于是；D(f)= D(f1) D(f2)= R , R(f)= R(f1) R(f2)=R+0 ；绝对值函数也可采用下面分段定义的形式 。 即。7例 6.后继函数 (success
6、or function)后继函数也称为 Peano函数 。设 (X,)是一全序集 ， 并且每个元素的后继存在 ， 即 (xX)(yX)(x+=y) ，则关系 P=(x, y) : xXyXx+=y是一函数 ， 即所谓的后继函数 。 记作s:XX ，对任何 xXs(x) = x+ = x +1。 这里加 1表示后继，并非都是普通的算术加 1。 例如 ,若 就是 普通的小于等于 全序，则 当 X=I (整数集 )时， s(-6)=-6+1=-5, s(1)=1+1=2，相当于 普通算术的加 1； 当 X=E(偶整数集 )时， s(-6)=-6+1=-4, s(2)=2+1=4，相当于普通算术的加
7、2； 当 X=n : n I3n (3倍数整数集 )时， s(-3)=-3+1=0, s(9)=9+1=12，相当于 普通算术的加 3 。8例 7.第一章 2定义 2定义的集合的并运算是一函数 。即f (2X 2X) 2X ，f =(x,y), z) : x, y , z 2X z= x y 这里 (x,y)是前者， z是后者；或者 f :2X 2X 2X ， f(x ,y) = z= x y ，这里 (x,y)是自变量， z是因变量；因此 f = 。例 8. 函数可以逐点来定义。g :1,2,3 A,B,C g(1)=A， g(2)=C ， g(3)=C定义 2.函数的相等函数的相等是 逐点
8、 相等。即 设 f ,g是由 X到 Y的两个函数， f ,g :XY， 则f = g (xX)(f(x) = g(x) ) 。g123ABC9定义 3.运算 (operation)对于任何自然数 n1， n元运算 f是一个从 n维叉积 Xn到 X的函数。 即 f :Xn X 。关于 运算， 主要考虑其封闭性。n元 运算 f的封闭性 ：对于任何 n个元素 x1 , x2 , , xn ，x1 , x2 , , xnX f(x1 , x2 , , xn)X ，或者 (x1 , x2 , , xn)Xn f(x1 , x2 , , xn)X 。例 9.集合的余运算 :2X 2X 是 一元运算；集合的交 ， 并运算 , :2X 2X 2X 是二 元运算 。例 10.集合的特征函数：对于任何集合 AX， 定义 A的特征函数A :X0,1 如下A(x)=10
