1、第 10章 代数系统 本章学习目标在一个非空集合上定义某种运算法则和运算规律，称之为具有了代数结构。本章所讲的代数系统是指抽象的概念，即不具体指哪一个系统，运算也不具体是哪一个运算，一旦抽象的系统性质被证实，那么这些结论和方法将用于实际。 通过本章学习，读者应该掌握以下内容：（ 1） 二元运算的相关概念和性质（ 2） 半群和独异点的概念及其判定（ 3） 群和子群的概念及其性质（ 4） 阿贝尔群和循环群的概念和性质（ 5） 置换群的概念和伯恩赛德定理（ 6） 陪集、正规子群和商群的概念以及拉格朗日定理（ 7）群的同态与同构的概念及其判定 第 10章 代数系统10.1 二元运算及其性质 10.2
2、代数系统 10.3 群的定义10.4 子群 10.5 阿贝尔群和循环群 10.6 置换群与伯恩赛德定理 10.7 陪集与拉格朗日定理 10.1 二元运算及其性质10.1.1 二元运算 定义 10.1.1 设 A， B， C为集合，如果 f是 A B到 C的一个映射，则称 f是 A B到 C的一个代数运算。 例如， A= 所有整数， B= 所有不等于零的整数， C= 所有有理数，则f： ABC ，是一个 A B到 C的代数运算，也就是普通的除法。 10.1 二元运算及其性质10.1.1 二元运算 定义 10.1.2 设 A为集合，如果 f是 A A到 A的代数运算，则称 f是 A上的一个二元运算
3、，也称作集合 A对于代数运算 f来说是封闭的。 例 10.1.1（ 1）整数集合 Z上的加法、减法和乘法都是 Z上的二元运算，而除法不是。（ 2）实数集合 R上的加法、减法和乘法都是 R上的二元运算，但除法不是。10.1 二元运算及其性质10.1.1 二元运算 （ 3）非零实数集 R*上的乘法、除法都是 R*上的二元运算，但加法和减法不是。（ 4）集合 A的幂集 P（ A） 上的集合的并、交都是 P（ A） 上的二元运算。（ 5）设 Mn（ R） 表示所有 n阶（ n 2） 实矩阵的集合，则矩阵的加法和乘法都是 Mn（ R） 上的二元运算。 。10.1 二元运算及其性质10.1.1 二元运算
4、例 10.1.2 （ 1）设 A=1， 2， 则f：（ 1， 1） 1 ，（ 2， 2） 2 ，（ 1， 2） 2 ，（ 2， 1） 1是一个 A上的二元运算。（ 2）设 R为实数集合，f：（ a， b） a+ ab是 R上的二元运算。 10.1 二元运算及其性质10.1.1 二元运算 例 10.1.3 设 A为非零正整数，如下定义 A上的二元关系 *：计算 3*2， 2*3。解： 3*2=32=9， 2*3=23=8类似于二元运算，也可以定义集合 A上的 n元运算。 10.1 二元运算及其性质10.1.1 二元运算 定义 10.1.3 设 A为集合， n为正整数， An=AAAA 表示 A的 n阶笛卡尔积。映射 f： An A称为 A上的一个 n元代数运算，简称 n元运算。 n个n个 10.1 二元运算及其性质10.1.1 二元运算 例 10.1.4（ 1）求一个数的绝对值是整数集 Z， 有理数集 Q， 实数集 R上的一元运算。（ 2）求一个数的相反数是整数集 Z， 有理数集 Q， 实数集 R上的一元运算。（ 3）求一个 n（ n2） 阶实矩阵的转置矩阵是 Mn（ R） 上的一元运算。（ 4） R为实数集，令 f： Rn R，（ x1， x2， xn） x1， 则 f是 R上的 n元运算。
