1、 1 机械工程测试技术基础习题解答 第一章 信号的分类与描述 1-1 求周期方 波 （见图 1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出 |cn| 和 n 图，并与表 1-1对比。 解答：在一个周期的表达式为 00( 0)2()( 0 )2TAtxt TAt 积分区间取（ -T/2， T/2） 000 0 000022020 0 021 1 1( ) d = d + d= ( c os - 1) ( = 0, 1, 2, 3, )TTjn t jn t jn tTTnc x t e t A e t A e tT T TAj n nn 所以复指数函数形式的傅里叶级数为 001( ) ( 1 c
2、o s )jn t jn tnnnAx t c e j n en ， = 0 , 1 , 2 , 3 , n 。 ( 1 c os ) ( = 0, 1, 2, 3, )0nInRAcnnnc 22 2 1 , 3 , ,( 1 c o s )0 0 , 2 , 4 , 6 , n n R n IA n Ac c c n nnn 1 , 3 , 5 ,2a r c ta n 1 , 3 , 5 ,20 0 , 2 , 4 , 6 ,nInnR nc ncn 图 1-4 周期方波信号波形图 0 t x(t) T02 T02 0T A -A T0 2 没有偶次谐波。 其频谱图如下图所示。 1-2
3、求正弦信号 0( ) sinx t x t 的绝对均值x和均方根值 rmsx 。 解答： 0 0 0 02 20 00 0 02 2 4 211 ( ) d s i n d s i n d c o sT TTTx x x x x x t t x tt tt tT T T T T 22 2 2 00r m s 00 0 01 1 1 c o s 2( )d s in d d2 2T T Txx tx x t t x t t tT T T 1-3 求指数函数 ( ) ( 0 , 0 )atx t A e a t 的频谱。 解 答 ： ( 2 )220 220 ( 2 )( ) ( ) ( 2 )
4、2 ( 2 )a j f tj f t a t j f t e A A a j fX f x t e d t A e e d t Aa j f a j f a f 22() ( 2 )kXf af I m ( ) 2( ) a r c t a n a r c t a nR e ( )X f ff X f a 1-4 求符号函数 (见图 1-25a)和单位阶跃函数 (见图 1-25b)的频谱。 单边指数衰减信号 频谱图 f |X(f)| A/a 0 (f) f 0 /2 -/2 |cn| n /2 -/2 0 0 30 50 30 50 2A/ 2A/3 2A/5 幅频图 相频图 周期方波复指数
5、函数形式频谱图 2A/5 2A/3 2A/ -0 -30 -50 -0 -30 -50 3 a)符号函数的频谱 10( ) sgn( ) tx t tt t=0 处可不予定义，或规定 sgn(0)=0。 该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但 傅里叶 变换存在。 可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足 傅里叶 变换的条件。先求此乘积信号 x1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数 x(t)的频谱。 1 0( ) sgn ( ) 0atatatetx t e t et 10( ) sgn( ) lim ( )ax t t x t02 2 211 2204( ) ( ) ( 2 )
6、j f t a t j f t a t j f t fX f x t e d t e e d t e e d t j af 10 1( ) s g n ( ) l i m ( )aX f t X f j f F 1()Xf f 02()02fff t sgn(t) 0 1 -1 t u(t) 0 1 图 1-25 题 1-4 图 a)符号函数 b)阶跃函数 4 b)阶跃函数频谱 10() 00tut t 在跳变点 t=0 处函数值未定义，或规定 u(0)=1/2。 阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在 傅里叶 变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其 傅里叶 变换，可采用如下方法求解。 解法
7、 1：利用符号函数 11( ) sgn( )22u t t 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) sg n ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2U f u t t f j f jff F F F 2 211( ) ( )2U f f f 结果表明，单位阶跃信号 u(t)的频谱在 f=0 处存在一个冲激分量，这是因为 u(t)含有直流分量，在预料之中。同时，由于 u(t)不是纯直流信号，在 t=0 处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。 解法 2：利用冲激函数 10( ) ( )d 00t tut t 时时 根据 傅里叶 变换的积分特性 单位阶跃信号频谱 f |U(f)| 0 (1/
8、2) f (f) 0 /2 -/2 1( ) sgn( )atx t e t 符号函数 t x1(t) 0 1 -1 符号函数频谱 f (f) 0 /2 0 f |X(f)| -/2 5 1 1 1 1( ) ( ) d ( ) ( 0 ) ( ) ( )2 2 2tU f f f f jj f f F1-5 求被截断的余弦函数 0cost (见图 1-26)的傅里叶变换。 0c o s()0 t t TxttT 解： 0( ) ( ) c o s( 2 )x t w t f t w(t)为矩形脉冲信号 ( ) 2 s in c ( 2 )W f T T f 00220 1c o s ( 2
9、) 2 j f t j f tf t e e 所以002211( ) ( ) ( )22j f t j f tx t w t e w t e 根据频移特性和叠加性得： 000011( ) ( ) ( )22sin c 2 ( ) sin c 2 ( ) X f W f f W f fT T f f T T f f 可见 被截断余弦函数 的频谱等于将矩形 脉冲 的频谱一分为二，各向左右移动 f0，同时谱线高度减小一半。 也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。 1-6 求指数衰减信号 0( ) sinatx t e t 的频谱 f X(f) T f0 -f0 被截断的余弦函数频谱
10、图 1-26 被截断的余弦函数 t t T -T T -T x(t) w(t) 1 0 0 1 -1 6 解 答 ： 000 1s in ( ) 2 j t j tt e ej 所以 001() 2 j t j tatx t e e ej 单边指数衰减信号 1 ( ) ( 0 , 0 )atx t e a t 的 频谱密度函数 为 11 220 1( ) ( ) j t a t j t ajX f x t e d t e e d t a j a 根据频移特性和叠加性得： 001 0 1 0 2 2 2 22 2 20 0 02 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0( ) ( )11( )
11、( ) ( )2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) a j a jX X Xj j a aaa ja a a a 1-7 设有一时间函数 f(t)及其频谱如图 1-27 所示。现乘以余弦型振荡 00cos ( )m t 。在这个关系中，函数 f(t)叫做调制信号，余弦振荡 0cost 叫做载波。试求 调幅信号 0( )cosft t 的傅里叶变换，示意画出 调幅信号及其频谱。又问：若 0 m 时将会出现什么情况？ 0 0 X() - () 指数衰减信号的频谱图 指数衰减信号 x(t) 7 解： 0( ) ( ) cos( )x t f t t ( ) ( )F f
12、 t F 000 1c o s ( ) 2 j t j tt e e 所以0011( ) ( ) ( )22j t j tx t f t e f t e 根据频移特性和叠加性得： 0011( ) ( ) ( )22X f F F 可见调幅信号的频谱等于将 调制信号 的频谱一分为二，各向左右移动载频 0，同时谱线高度减小一半。 若 0 m 将发生混叠。 1-8 求正弦信号 0( ) sin ( )x t x t 的均值 x 、均方值 2x 和概率密度函数 p(x)。 解答： (1) 0000 011l im ( ) d s in ( ) d 0TTx T x t t x t tTT ，式中0 2
13、T 正弦信号周期 f X(f) 0 -0 矩形调幅信号频谱 图 1-27 题 1-7 图 F() 0 f(t) 0 t -m m 8 (2) 00 222 2 2 2 0000 0 0001 1 1 c o s 2 ( )l im ( ) d sin ( ) d d22T T Tx T xx t x t t x t ttT T T (3)在一个周期内 0 1 2 2xT t t t 0002 ( ) l im xxTTT tP x x t x x T T T 22 0 0 00 0 ( ) 2 2 d 1( ) l im l im dxxP x x t x x t tpx x T x T x
14、xx x(t) 正弦信号 x x+x t t t 9 第二章 测试装置的基本特性 2-1 进行某动态压力 测量 时，所采用的压电式力传感器的灵敏度为 90.9nC/MPa， 将它与增益为0.005V/nC 的电荷放大器相连，而电荷放大器的输出接到一台笔式记录仪上 ， 记录仪的灵敏度为 20mm/V。试计算这个 测 量系统的总灵敏度 。 当压力变化为 3.5MPa 时，记录笔在记录纸上的偏移量是多少？ 解：若不考虑负载效应，则各装置串联后总的灵敏度等于各装置灵敏度相乘，即 S=90.9(nC/MPa)0.005(V/nC)20(mm/V)=9.09mm/MPa。 偏移量： y=S3.5=9.09
15、3.5=31.815mm。 2-2 用一个时间常数为 0.35s 的一阶装置去测量周期分别为 1s、 2s 和 5s的正弦信号，问 稳态响应 幅值误差将是多少？ 解：设一阶系统 1() 1Hs s ， 1()1H j 2 211( ) ( )21 ( ) 1 ( )AHT ， T 是输入的正弦信号的周期 稳态响应 相对 幅值误差 1 1 0 0 %A ，将已知周期代入得 5 8 .6 % 1s3 2 .7 % 2s8 .5 % 5sTTT2-3 求周期信号 x(t)=0.5cos10t+0.2cos(100t45)通过传递函数为 H(s)=1/(0.005s+1)的装置后 得到的稳态响应。 解
16、： 1()1 0.0 0 5H j ，21() 1 ( 0 .0 0 5 )A ， ( ) a rc ta n (0 .0 0 5 ) 该装置是一线性定常系统，设稳态响应为 y(t)，根据线性定常系统的频率保持性、比例性和叠加性得到 y(t)=y01cos(10t+1)+y02cos(100t45+2) 其中0 1 0 1 21( 1 0 ) 0 . 5 0 . 4 9 91 (0 . 0 0 5 1 0 )y A x ， 1 (1 0 ) a r c t a n (0 . 0 0 5 1 0 ) 2 . 8 6 0 2 0 2 21( 1 0 0 ) 0 . 2 0 . 1 7 91 (0
17、. 0 0 5 1 0 0 )y A x ， 2 ( 1 0 0 ) a r c t a n ( 0 . 0 0 5 1 0 0 ) 2 6 . 5 7 所以稳态响应为 ( ) 0 . 4 9 9 c o s ( 1 0 2 . 8 6 ) 0 . 1 7 9 c o s ( 1 0 0 7 1 . 5 7 )y t t t 2-4 气象气球携带 一 种时间常数为 15s 的一阶温度计， 以 5m/s 的上升速度通过大气层。 设 温 度按每升高 30m 下降 0.15的规律而变化，气球将温度和高度的数据用无线电送回地面。在 3000m 处所记录的温度为 l。试问实际出现 l 的真实高度是多少？
18、 解：该温度计为一阶系统，其传递函数设为 1() 15 1Hs s 。温度随高度线性变化，对温度计来说相当于输入了一个斜坡信号，而这样的一阶系统对斜坡信号的稳态响应滞后时间为时间常数 =15s，如果不计无线电波传送时间，则温度计的输出实际上是 15s 以前的温度，所以 实际出现 l的真实高度是 10 Hz=H-V=3000-515=2925m 2-5 想用 一 个 一 阶系统 做 100Hz 正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在 5%以内，那么 时间常数应取多少？若 用该系统测量 50Hz 正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？ 解：设该一阶系统的频响函数为 1()1H j ， 是时间常数
19、 则 21() 1 ( )A 稳态响应相对幅值误差21( ) 1 1 0 0 % 1 1 0 0 %1 ( 2 )A f 令 5%， f=100Hz，解得 523s。 如果 f=50Hz，则 相对幅值误差：2 6 2111 1 0 0 % 1 1 0 0 % 1 . 3 %1 ( 2 ) 1 ( 2 5 2 3 1 0 5 0 )f 相角差： 6( ) a r c t a n ( 2 ) a r c t a n ( 2 5 2 3 1 0 5 0 ) 9 . 3 3f 2-6 试说明二阶装置阻尼比 多采用 0.60.8 的原因。 解答：从不失真条件出发分析。 在 0.707 左右时，幅频特性近
20、似常数的频 率 范围最宽，而 相频特性曲线最接近直线。 2-7 将信号 cost 输 入一个传递函数为 H(s)=1/(s+1)的一阶装 置 后，试求其包括瞬态过程 在 内的 输 出y(t)的 表达式。 解答：令 x(t)=cost，则22() sXs s ，所以 221( ) ( ) ( ) 1 sY s H s X s ss 利用部分分式法可得到 21 1 1 1 1 1() 11 ( ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 )Ys j s j j s js 利用逆拉普拉斯变换得到 1222/22/21 1 1( ) ( ) 1 ( ) 2( 1 ) 2( 1 )1 ( )1 ( ) 2 1 ( ) 1c os sin1 ( )11 ( ) c os( a r c ta n )1 ( )tj t j tt j t j t j t j ttty t Y s e e ejje e j e eet t ete L2-8 求频率响应函数为 3155072 / (1 + 0.01j)(1577536 + 1760j - 2)的系统对正弦输 入 x(t)=10sin(62.8t)的稳态响应的均值显示 。
