1、1有限集和无限集n 有限 集合 元素的个数称为该集合的基数； 满足包含排斥原理。n 无限 集合 元素 无限多 ，如：自然数集合 N、整数集 I、实数集 R等。n 问题 ： 对于这样的集合有没有基数呢？ 如果有，基数是多少？ 无限集合之间 有无大小的差别 ? n 本章 主要借助于函数讨论集合的所谓 “大小 ”问题。这里用到自然数集合这个重要的概念讨论无限集。2基本 概念n 定义 4.1 一个集合 S与集合 Nn=0,1,2， n-1，如存在 一一对应 函数 f : Nn S，则 称 S是 有限集合，并 称其有基数 n，如果 S不是 有限集合，则 称为无限集合。n 说明： 由集合的元素个数来定义；
2、 由于量变引起的质变； 它们中的一种性质都不能 随意 扩展到另一个集合中。3基本概念定义 4.2 集合 A和集合 B的元素 间，如果 存在一一对应的 关系，则 说 A和 B是等 势（ Cardinality）的，记作 ABn 说明： 对 有限集 来说，两 集合等势即说明两个集合 的元素 的个数 相同； 集合的势： Cardinality of Sets4Hilbert旅馆n 问题： 一 旅店有无穷多个房间，各房间编号依次 为：#1， #2， #3， 现 所有房间已住满了 人，这时 来了一位新客人要求 住店，怎么安排？客 满5Hilbert旅馆n 解决方法： 店主 人把 #1房的客人移到 #2房
3、，把 #2房的客人移到 #3房，依此类推，新客人就住进了已腾空的 #1房间； n 接着 ，又来了第二位新客人，旅店主也照此办理，使第二位客人得到 落实。n 紧接着，来了一个有 无限多 个游客的旅游团要求定住房间，怎么办 ？ 店主人把 #1房的客人移到 #2房，把 #2房的客人移到 #4房， #3房的客人移到 #6房，等等，所有奇数号的房间全部腾空了，新的无限多个客人就全住进了 旅店 。6n 紧接着 发生了更为严重的情况，来了 无穷多 个具有 无穷多名游客的旅游团 ， 怎么办 ？ 第一个 旅游团客人按 如下房间编号 住 第二 个旅游团客人住的房间编号为 接着是7n 这样不仅安排了无穷多个旅游团的
4、住宿，而且还空出了很多房间 ！n 无限多个房间可住无穷多个具有无穷多个游客的旅游团！对于一个无穷 集合，向 其中添加有限个 元素，甚至“ 无穷多个 ” 元素得到的新 集合， 其 势不变 一个集合 A，若 真子集 B ： B A， B与 A等 势 ，则 A一定是 无限集8n Hilbert旅馆 的内涵 如果 把自然数集合中的元素数量记为 z， 那么 z不管加上多大的 数，乘 以多少 ，它 始终是 一个无穷，不会变大或变小。n 问题：自然数和平方数谁要更多。 用普通人的眼光来看，前 10个数字中不过 4和 9两个数， 前 100个数中也不过 10个 ； 再往后， 平方数在自然数中所占的比例越来越小
5、； 但是从另一个角度看，每一个自然数都对应着一个平方数； 所以，自然数和平方数是一样多的， 这 “一一对应 ” 的规则也就是判断集合是否一样大的标准。9任何一个 有限 集合不能与其真子集等 势。n 另 一种有限集、无限集的定义 方法；n 定义 ： 如果存在一一对应的 f: SS ，使得 f(S) S，即 f(S)是 S的真子集，则 S是无限集合，否则 S是有限 集合。10定理 4.1 自然数集 N是无限 集。n 证明：设函数 f: N N，定义 为 f(x)=2x，显然 f是 一一对应，而且 f(N) N ，因此 N是无限集 。定理 4.2 常数 集 R是无限 集。n 证明：设函数 f: R R，为显然 f(x)是一一对应 的，而且 显然有 f(R) R，因此 R是无限 的。
