1、第 5-5讲 同态与同构1. 例子2.同态3.同构4.同态代数系统间的关系5.同态核6. 第 5-5讲 作业11、 例子 （ 1）设 、 、 是带正电荷的粒子， 、 是中性粒子， 是带负电荷的粒子，下表描述了这些粒子间相互作用的结果：令 A=,， 则 是一个代数系统。如果只考虑带电粒子的正负特性，则这些粒子相互作用的结果可用另一个系统 (B=1,0,-1)概括地描述 。21、 例子 （ 2）在代数系统 和 之间，可建立从 A到 B的映射 f,对任意 a1,a2A, 有f(a1 a2)=f(a1)* f(a2)例如， f( )=f()=0， f()*f()=1*(-1)= 0。所以， f( )=
2、f()*f()这时，称 f为代数系统 到 的一个同态。31、 例子 （ 3）f()=f()=f()=1,f()=f()=0,f()=-1, = ; 1*(-1)=0f( )=f()= 0 =1*(-1)= f()*f()42、 同态定义 1 设 和 是两个代数系统， 和 *分别是 A和 B上的二元运算。如果存在映射 f:AB,对任意 a1,a2A,有 f(a1a2)=f(a1)*f(a2),则称 f是 到 的一个同态映射，简称同态。并称 同态于 ， 记作 AB；称 为 的一个同态象。53、 同构定义 2 设 f是 到 一个同态， 如果 f是 A到 B的满射 (入射 )f， 则 称 f是 到 满
3、同态 (单一同态 )。如果 f为双射，则称 f为 同构 映射，并称 与 同构，记作 AB。例 1 设 R是实数集， R+为正实数集合，说明代数系统 与 是同构的。解： 为说明 与 是同构的，必须建立 R+ 到 R的双射 f,并且对任意x1,x2R+,有 f(x1x2)=f(x1)+f(x2)可令 f:R+R,f(x)=lnx,则 f是 R+ 到 R的双射，且f(x1x2)=ln（ x1x2） =lnx1+lnx2=f(x1)+f(x2)所以，代数系统 与 是同构的。 64、 同态 (同构 )代数系统间的关系 (1)定理 1 设 f是代数系统 到 一个同态， 如果是半群 (独异点、群 )，则同态
4、象 也 是半群（独异点、群） 。证：以群为例进行证明。因 f是同态， 所以 f(A)B。 对任意 b1,b2f(A),有a1,a2A,使得 f(a1)=b1, f(a2)=b2, 那么b1*b2 =f(a1)* f(a2)=f(a1a2)f(A)。所以 *运算在 f(A)上 封闭 。对任意 b1,b2 ,b3 f(A),有 a1,a2 ,a3 A,使得 f(a1)=b1, f(a2)=b2, f(a3)=b3, 那么b1*(b2*b3)=f(a1)*(f(a2)*f(a3)=f(a1)*f(a2a3)=f(a1(a2a3)=f(a1a2)a3)=f(a1a2)*f(a3)=(f(a1)*f(a
5、2)*f(a3)=(b1*b2)*b3所以 *运算在 f(A)上 可结合 。74、 同态 (同构 )代数系统间的关系 (2)定理 1 设 f是代数系统 到 一个同态， 如果是群，则同态象 也 是群。证 (续 )： 设 e是 的幺元， 对任意 bf(A),有 aA,使得 f(a)=b, 那么b*f(e)=f(a)*f(e)=f(ae)=f(a)=b。同时， b*f(e)=f(ae)=f(ea)=f(e)*f(a)=f(e)*b所以， f(e)是 的 幺元 。对任意 bf(A),有 aA,使得 f(a)=b, 因 是群，则a有逆元 a-1， 且 f(a-1)f(A), 那么f(a)*f(a-1)=
6、f(aa-1)=f(e)=f(a-1a)=f(a-1)* f(a)因 f(e)是 的 幺元，所以 f(a-1)是 f(a)的逆元。 所以任意 b=f(a)f(A)有 逆元 , 即 f(a)-1=f(a-1) 。由上述， 是群。84、 同态 (同构 )代数系统间的关系 (3)定义 3 设 是代数系统， f是 到 的一个同态（同构）， 则称 f为自同态 （自同构）。定理 2： 设 G是代数系统的集合，则 G中 代数系统间的同构关系是等价关系。 证： 设任意 G，令 f： AA， f(a)=a， aA。 从而， 即代数系统间的同构关系是自反的。设 ， 那么存在双射 f： AB，故 f-1： BA也是
7、 双射 ，所以 。 因而该关系是对称的。设 ， ，则 存在双射 f： AB和 g： BC,那么 gf： AC也是 双射， 所以 。因而该关系是传递的。95、 同态核定义 4 设 f是群 到群 的一个同态， eH是 的幺元 ,令 Ker(f)=x|xG且 f(x)=eH。 称 Ker(f)是 同态映射 f的核，简称 同态核 。证明： 对任意 k1,k2K,有f(k1k2)=f(k1)*f(k2)=eH*eH=eH所以 k1k2K,所以 运算在 K上 封闭 。进而可知 运算在 K上 可结合 。又因 f是群 到群 的同态，根据定理 1，eH=f(e)， 这说明 eK， e也是 K的 幺元 。对任意 kK, f(k)=eH。 f(k-1)=(f(k)-1=(eH)-1= eH所以 k-1K,即 K中任意元素有 逆元 。从而 K是 G的子群。定理 3 设 f是群 到群 的一个同态，则 f的同态核 K是 G的子群。 (是 的子群 )10
