1、第三部分 代数结构主要内容l 代数系统 -二元运算及其性质、代数系统和子代数l 半群与群 -半群、独异点、群l 环与域 -环、整环、域l 格与布尔代数 -格、布尔代数1第九章 代数系统主要内容二元运算及其性质l 一元和二元运算定义及其实例l 二元运算的性质代数系统l 代数系统定义及其实例l 子代数l 积代数代数系统的同态与同构29.1 二元运算及其性质定义 9.1 设 S为集合，函数 f： SSS 称为 S上的 二元运算 ，简称为二元运算l S中任何两个元素都可以进行运算，且运算的结果惟一l S中任何两个元素的运算结果都属于 S，即 S对该运算封闭例 1 (1) 自然数集合 N上的加法和乘法是
2、 N上的二元运算，但减法和除法不是(2) 整数集合 Z上的加法、减法和乘法都是 Z上的二元运算，而除法不是(3) 非零实数集 R*上的乘法和除法都是 R*上的二元运算，而加法和减法不是3实例(4) 设 Mn(R)表示所有 n 阶 (n2)实矩阵的集合，即 则矩阵加法和乘法都是 Mn(R)上的二元运算 . (5) S为任意集合，则 、 、 为 P(S)上二元运算 . (6) SS为 S上的所有函数的集合，则合成运算 为 SS上二元运算 . 4一元运算的定义与实例定义 9.2 设 S为集合，函数 f:S S 称为 S上的 一元运算 ，简称一元运算 . 例 2 (1) 求相反数是整数集合 Z,有理数
3、集合 Q和实数集合 R上的一元运算 (2) 求倒数是非零有理数集合 Q*,非零实数集合 R*上一元运算(3) 求共轭复数是复数集合 C上的一元运算 (4) 在幂集 P(S)上规定全集为 S，则求绝对补运算 是 P(S)上的一元运算 . (5) 设 S为集合，令 A为 S上所有双射函数的集合， ASS，求一个双射函数的反函数为 A上的一元运算 . (6) 在 n(n2)阶实矩阵的集合 Mn(R)上，求转置矩阵是 Mn(R)上的一元运算 . 5二元与一元运算的表示1算符可以用 , , , , , 等符号表示二元或一元运算，称为算符 . 对二元运算 ，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 xy =
4、z对一元运算 , x的运算结果记作 x. 2表示二元或一元运算的方法 : 解析公式和运算表公式表示 例 设 R为实数集合，如下定义 R上的二元运算 ：x, y R, x y = x. 那么 34 = 3， 0.5(3) = 0.56运算表：表示有穷集上的一元和二元运算运算表二元运算的运算表 一元运算的运算表7例 3 设 S=P(a,b)， S上的 和 运算 的运算表如下运算表的实例8二元运算的性质定义 9.3 设 为 S上的二元运算 ,(1) 若对任意 x,y S 有 xy=yx, 则称运算在 S上满足 交换律 .(2) 若对任意 x,y,z S有 (xy)z=x(yz), 则称运算在 S上满
5、足 结合律 .(3) 若对任意 x S 有 xx=x, 则称运算在 S上满足 幂等律 .定义 9.4 设 和 为 S上两个不同的二元运算 , (1) 若对任意 x,y,z S有 (xy)z=(xz)(yz)，z(xy)=(zx)(zy), 则称 运算对 运算满足 分配律 . (2) 若 和 都可交换 ,且对任意 x,y S有 x(xy)=x， x(xy)=x,则称 和 运算满足 吸收律 . 9实例Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集； Mn(R)为 n阶实矩阵集合 , n2； P(B)为幂集； AA为从 A到 A的函数集， |A|2集合 运算 交 换 律 结 合律 幂 等律Z,Q,R 普通加法 +普通乘法 有有有有无无Mn(R) 矩 阵 加法 +矩 阵 乘法 有无有有无无P(B) 并 交 相 对补 对 称差 有有无有有有无有有有无无AA 函数复合 无 有 无10
