1、1第七章 命题逻辑数理逻辑是用数学方法研究思维规律的一门学科。所谓数学方法是指 :用一套数学的符号系统来描述和 处理思维的形式与规律。因此 , 数理逻辑又称为符号逻辑。本章介绍数理逻辑中最基本的内容命题逻辑。首先引入命题、命题公式等概念。然后 ,在此基础上研究命题公式间的等值关系和蕴含关系 ,并给出推理规则 ,进行命题演绎。 主要内容如下：7.1 命题和命题联结词7.2 命题公式7.3 命题公式的等值关系和蕴含关系7.4 范式 7.5 命题演算的推理理论 27.1 命题和命题联结词一、 命题的概念命题 ： 是能分辨真假的陈述句。 例 1判断下列语句是否是命题。（ 1）空气是人生存所必需的。 （
2、 2）请把门关上。（ 3）南京是中国的首都。 （ 4）你吃饭了吗？（ 5） x=3。（ 6） 啊，真美呀！ (7) 明年春节是个大晴天。解 语句（ 1） ,（ 3） ,（ 5）， (7)是陈述句 （ 1）、（ 3）、 (7)是命题 用真值来描述命题是 “ 真 ” 还是 “ 假 ” 。分别用 “ 1” 和“ 0” 表示 命题用大写的拉丁字母 A、 B、 C、 P 、 Q、 或 者带下标的大写的字母来表示。例 2 判断下列陈述句是否是命题。P： 地球外的星球上也有人； Q： 小王是我的好朋友；解 P、 Q是命题 3二、命题联结词 原子命题 ： 由简单句形成的命题。复合命题： 由一个或几个原子命题通
3、过联结词的联接而构成的命题。例 3 A： 李明既是三好学生又是足球队员。B： 张平或者正在钓鱼或者正在睡觉。C： 如果明天天气晴朗，那么我们举行运动会。4定义五种联结词（或称命题的五种运算）。1. 否定 “”定义 7-1 设 P是一个命题，利用 “”和 P组成的复合命题称为 P的否命题，记作 “P” (读作 “非 P”)。命题 P取值为真时，命题 P取值为假；命题 P取值为假时，命题 P取值为真。 例 4 设 P： 上海是一个城市； Q： 每个自然数都是偶数。则有 P： 上海不是一个城市 ;Q： 并非每个自然数都是偶数。P P1 00 152合取 “ ”定义 7-2 设 P和 Q是两个命题，由
4、 P、 Q利用 “ ”组成的复合命题，称为合取式复合命题，记作 “P Q”（ 读作 “P且 Q”）。当且仅当命题 P和 Q均取值为真时， P Q才取值为真。 例 5 设 P： 我们去看电影。 Q： 房间里有十张桌子。则P Q表示 “ 我们去看电影并且房间里有十张桌子。 ” P Q P Q0 0 00 1 01 0 01 1 163. 析取 “ ”定义 7-3 由命题 P和 Q利用 “” 组成的复合命题，称为析取式复合命题，记作 “ PQ” （ 读作 “ P或 Q” ）。当且仅当 P和 Q至少有一个取值为真时， PQ 取值为真。 P Q P Q0 0 00 1 11 0 11 1 1例 6 将命
5、题 “他可能是 100米或 400米赛跑的冠军。 ”符号化。 解 令 P： 他可能是 100米赛跑冠军； Q： 他可能是 400米赛跑冠军。 则命题可表示为 P Q。7设 P、 Q是两个命题， P异或 Q是一个复合命题，记作 PQ 。 例 7 今天晚上我在家看电视或去剧场看戏。令 P： 今天晚上我在家看电视。Q： 今天晚上我去剧场看戏例 7中的命题可表示为 P Q， 或者表示为（P Q (P Q)。由于 “ ”可用 “ ”， “ ”和 “ ”表示，故我们不把它当作 基本 联结词。 P Q P Q0 0 00 1 11 0 11 1 084. 蕴含 “ ” 定义 7-4 由命题 P和 Q利用 “
6、” 组成的复合命题，称为蕴含式复合命题，记作 “ PQ” （ 读作 “ 如果 P，则Q” ）。 当 P为真， Q为假时， P Q为假，否则 PQ 为真。 P Q P Q0 0 10 1 11 0 01 1 1例 8 将命题 “如果我得到这本小说，那么我今夜就读完它。 ”符号化。解 令 P： 我得到这本小说； Q： 我今夜就读完它。 于是上述命题可表示为 PQ 。 例 9 若 P： 雪是黑色的； Q： 太阳从西边升起；R： 太阳从东边升起。 则 PQ 和 PR 所表示的命题都是真的. 95等值 “” 定义 7-5 由命题 P和 Q， 利用 “” 组成的复合命题，称为等值式复合命题，记作 “PQ”
7、 （ 读作 “P当且仅当 Q”）。当 P和 Q的真值相同时 ,P Q取真 ,否则取假。 P Q P Q0 0 10 1 01 0 01 1 1例 10 非本仓库工作人员，一律不得入内。解 令 P： 某人是仓库工作人员；Q： 某人可以进入仓库。 则上述命题可表示为 PQ 。10例 11 黄山比喜马拉雅山高，当且仅当 3是素数令 P： 黄山比喜马拉雅山高； Q： 3是素数本例可符号化为 PQ从汉语的语义看， P与 Q之间并无联系，但就联结词 的定义来看，因为 P的真值为假， Q的真值为真，所以 PQ的真值为假。 对于上述五种联结词，应注意到：复合命题的真值只取决于构成它的各原子命题的真值，而与这些原子命题的内容含义无关。
