1、 概念回顾 设 S,F，其中 S是非空元素的集合， F是运算的集合，对任何 fiF 和任意 xi,xj S, 有 xi fi xj S ，则 称 S,F为代数系统。 对代数系统 S,F ,若 S S,F在 S封闭，则称 S,F为 S,F的子代数系统。 设 S,F和 V= 是两个同型的代数系统，若存在 f:S S,g:F F ,使对任何 xi,xj S 和 fiF ， 都有 f(xi fi xj)= f(xi) g(fi) f(xj) 则称两代数系统是同态的，若 f是满射，则称为满同态，若 f是双射则称两代数系统是同构的。 对同型代数系统 S,*和 V=，其积代数为： UV= ，对任意 , SS
2、, = , 。 S,*及 S上的同余关系，其商代数为： V= S/E, ,对任意 x,y S, xE ,yE S/E, xE yE= x*yE 群是每一个元素均有逆元的含幺半群。 设 ,为群， S S，并且 为群，则称 为 的子群。 给定群 及非空子集 HG，则 是 的子群 (a)(b)(a， b H ab H) (a)(a H a-1 H) 即 为 的子群的充要条件是 H对于 封闭及 H中每个元素存在逆元。 因为： (a a-1)=e H 又 继承了 的可结合性 于是 满足群的定义，而 HG 所以 是 的子群 是 的子群 (a)(b)(a， b H ab-1 H) 对 a,a H,则 aa-
3、1=e H 对 e,b H,则 e b-1= b-1 H 对任何 a,b H则 b-1 H， 于是有 (a(b-1) -1)= ab = H 于是问题得证。 群的性质： 、设 是群 |G| 1则 无零元。 、群 中惟一等幂元是幺元。 、 (a)(b)(c)(a， b， c G (ab = ac ba = ca)b = c) 即群满足可约律。 、 an= (a-1)m n0 在群中对某个元素负的方幂定义为该元素的逆的方幂。 、 群中方程解是惟一的。 、 a G， (a-1)-1 = a a， b G， (ab) -1 = b-1a-1 a G， m， n Z，有 aman = a m+n a G
4、， m， n Z，有 (am)n = amn 若 为 Abel群（可交换群），则(ab)n = anbn 7、给定群 ，且 a，幺元 e G，则 a的阶或周期为 使 an=e的最小正整数 并称 n为 a的阶 记作 | a | = n。 任何群 幺元 e的阶都是 1。 若 an = e且没有 n的因子 d (1 d n)使 ad = e，则 n为 a的阶。 a与 a-1具有相同的阶。 这部分的练习题 4-1通常数的减法运算能否和下列集合构成一个代数系统 . （ 1）非负整数集 Z （ 2）整数集 I （ 3）有理数集 Q 4-2设代数系统 V=，其中 I表示整数集，和 分别表示通常的加法和乘法运
5、算，下面的各个子集，它是否能构成 V的子代数？ （ 1） H1=2n+1| n I N （ 2） H2=2n | n I Y 4-3设代数系统 V=，其中二元运算 定义为 xy=x与 y中较大的数 , 则 V有（）个子代数。 A 3 B 6 C 7 D 8(N )（ Y）（ Y）4-4设 =为代数系统，其中运算 *,的定 义为 ：x*y=minx,yx y=(x+y)(mod3)试给 出 U的运算表，并求出它的所有子代数解： * 0 1 2 3 0 1 2 30 0 0 0 0 0 0 1 2 01 0 1 1 1 1 1 2 0 12 0 1 2 2 2 2 0 1 23 0 1 2 3 3 0 1 2 0
