1、第第 1 章章模糊集的基本概念模糊集的基本概念模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法 . 众所周知，经典数学是以精确性为特征的 .然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的 . 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好 .例如 ,要你某时到某地去迎接一个 “ 大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人 ” .尽管这里只提供了一个精确信息 男人，而其他信息 大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人 .模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济
2、管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用 .1.2 模糊理论的数学基础经典集合经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明 ,即一个元素 x要么属于集合 A(记作 xA),要么不属于集合 (记 作xA)， 二者必居其一 .集合的表示法：(1)枚举法， A=x1 , x2 , xn；(2)描述法， A=x | P(x).AB 若 xA， 则 xB；AB 若 xB， 则 xA；A=B AB且 AB.集合 A的 所有子集所组成的集合称为 A的幂集，记为 (A).并集 A B = x | xA或 xB ；交集 AB = x | xA且 xB ；余集 Ac = x | xA .集合
3、的运算规律幂等律： A A = A， AA = A；交换律： A B = B A， AB = BA；结合律： ( A B ) C = A ( B C )，( AB )C = A( BC )；吸收律： A ( AB ) = A， A( A B ) = A；分配律： ( A B )C = ( AC ) ( BC )；( AB ) C = ( A C )( B C )；0-1律： A U = U ， AU = A ；A = A ， A = ；还原律： (Ac)c = A ；对偶律： (A B)c = AcBc， (AB)c = Ac Bc； 排中律： A Ac = U， AAc = ；U 为全集，
4、为空集 .集合的直积：X Y = (x , y )| xX , y Y .映射与扩张映射 f ： X Y集合 A的特征函数：特征函数满足： 取大运算 ,如 2 3 = 3取小运算 ,如 2 3 = 2扩张：点集映射 集合变换二元关系X Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的 二元关系，特别地，当 X = Y 时， 称之为 X 上的 二元关系 .二元关系简称为 关系 .若 (x , y )R， 则 称 x 与 y 有 关系，记为R (x , y ) = 1；若 (x , y )R， 则 称 x 与 y 没有 关系，记为R (x , y ) = 0.映射 R : X Y 0,1实际上是 X Y 的
5、子集 R上的特征函数 .关系的三大特性：设 R为 X 上的 关系(1) 自反性 ：若 X 上的任何元素都与自己有关系 R，即 R (x , x) =1， 则称关系 R 具有自反性；(2) 对称性 ：对于 X 上的任意两个元素 x , y，若 x 与 y 有关系 R 时，则 y 与 x 也有关系 R， 即若 R (x , y ) =1，则 R ( y , x ) = 1， 那么称关系 R具有对称性 ； (3) 传递性 ：对于 X上的任意三个元素 x, y, z， 若 x 与 y 有关系 R， y 与 z 也有关系 R 时，则 x与 z 也有关系 R， 即若 R (x , y ) = 1， R (
6、 y , z ) =1， 则R ( x , z ) = 1， 那么称关系 R具有传递性 . 关系的矩阵表示法设 X = x1, x2, , xm,Y= y1, y2, , yn， R为从 X 到 Y 的 二元关系，记rij =R(xi , yj )， R = (rij)mn，则 R为布 尔矩阵 (Boole)， 称为 R的关系矩阵 .布 尔矩阵 (Boole)是元素只取 0或 1的矩阵 .关系的合成 设 R1 是 X 到 Y 的关系 , R2 是 Y 到 Z 的关系 , 则 R1与 R2的合成 R1 R2是 X 到 Z 上的一个关系 .(R1R2) (x, z) = R1 (x, y) R2 (y, z)| y Y 关系合成的矩阵表示法设 X = x1, x2, , xm, Y = y1 , y2 , , ys, Z = z1, z2, , zn，且 X 到 Y 的关系R1 = (aik)ms，Y 到 Z 的关系R2 = (bkj)sn，则 X 到 Z 的关系可表示为矩阵的合成：R1 R2 = (cij)mn，其中 cij = (aik bkj) | 1ks.定义：若 R为 n 阶方阵，定义R 2 = R R， R 3 = R 2 R
