1、统计推断的基本问题统计推断的基本问题 估计问题估计问题 (ch7) 估计问题可分为参数估计与非参数估计。估计问题可分为参数估计与非参数估计。本章只介绍关于总体参数的本章只介绍关于总体参数的 点估计点估计 与与 区间估计区间估计 。 假设检验问题假设检验问题 (ch8) 第七章第七章 参数估计参数估计1 、点估计、点估计一、点估计问题的提出一、点估计问题的提出数理数理 统计统计 的基本任的基本任 务务 就是依据就是依据 样样 本推断本推断 总总 体特征体特征. 刻画刻画 总总 体体 X的某些特征的常数称的某些特征的常数称 为为 参数参数 ,其中最常其中最常 用的参数是总体的数学期望和方差。例如用
2、的参数是总体的数学期望和方差。例如 ,服从正态分服从正态分 布的总体布的总体 X就是由参数就是由参数 =E(X), 2=D(X)确定的。确定的。在在 实际问题实际问题 中中 ,常常 已知总体已知总体 X的分布函数的形式的分布函数的形式 ,而而 未知总体未知总体 X的一个或多个参数的一个或多个参数 。 根据根据 样样 本提供的信息本提供的信息 对总对总 体体 X的未知参数作出估的未知参数作出估计计 ，这类问题称为，这类问题称为 参数估计参数估计 问题。问题。参数估参数估 计计 通常有两种方法通常有两种方法 :点估计点估计 和和 区间估计区间估计 。一、点估计提法一、点估计提法点估计问题提法点估计
3、问题提法 :设设 已知已知 总总 体体 X的分布函数的分布函数 F(x; ) 的形式的形式 , (参数空间参数空间 )为需要估计的参数。为需要估计的参数。 是来自是来自 总总 体体 X的一个的一个 样样 本本 , 是其是其 样样 本本 值值 . 根据待估参数的根据待估参数的 特征特征 构造一个适当的统计量构造一个适当的统计量用其用其 观观 察察 值值来估计未知参数来估计未知参数 . 的的 估计量估计量 的的 估计值估计值今后今后 ,不再区分估不再区分估 计计 量和估量和估 计值计值 而而 统统 称称 为为 的的 估计估计 , 均记为均记为 .设设 已知已知 总总 体体 X的可能分布函数族的可能
4、分布函数族 为为 :理论根据理论根据 :样样 本矩本矩 (的的 连续连续 函数函数 )依概率收依概率收 敛敛 于于 总总 体矩体矩 (的连续函数的连续函数 ).其中其中 为待估参数为待估参数 .二、构造估计量的两种方法二、构造估计量的两种方法1、矩估计法、矩估计法矩估计法矩估计法 :用用 样样 本矩本矩 (函数函数 )来估来估 计总计总 体矩体矩 (函数函数 ).证明辛钦定理再根据 辛钦定理 知由以上定义得下述 结论 :由第五章关于依概率收敛的序列的性质知以上结论是下一章所要介绍的矩估计法的理论根据 .设总设总 体体 X的前的前 k阶阶 矩矩 均存在均存在 ,而样本矩而样本矩其中其中矩估矩估
5、计计 法就是法就是 : 令令 总体的前总体的前 k阶矩分别与样本的阶矩分别与样本的 对应阶矩相等对应阶矩相等 ,即即 可作为待估参数可作为待估参数 的估计量的估计量 (称为称为 矩估计矩估计 量量 ),其其 观观 察察 值为值为 待估参数的估待估参数的估 计值计值 (称称 为为 矩估计值矩估计值 ).这是含这是含 k个待估参数个待估参数 的的 联立方程组联立方程组 ，其解，其解 确定待估参数的个数确定待估参数的个数 k,求出求出 总总 体的前体的前 k阶阶 矩矩 ;求矩估计的步骤求矩估计的步骤 解方程解方程 (组组 ) 写出矩估写出矩估 计计 量和矩估量和矩估 计值计值 .因此因此 ,会求总体矩会求总体矩 ,记住样本矩记住样本矩 ,就可求出待估参就可求出待估参 数的矩估计量与矩估计值数的矩估计量与矩估计值 .【 例例 1】 设总体设总体 X服从服从 a,b上的均匀分布上的均匀分布 ,求未知求未知 参数参数 a,b的矩估计量的矩估计量 . 解 两个待估参数， 连续 型 .先求总体的一 ,二阶 (原点 )矩 .因为 XUa,b,所以由由即
