1、 例 8 某部门现有资金 200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资，已知 项目 A： 从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利 110。 项目 B： 从第一年到第三年每年年初都可以投资，次年末回收本利 125，但规定每年最大投资额不能超过 30万元。 项目 C： 第三年初需要投资，到第五年末能回收本利 140，但规定最大投资额不能超过 80万元。 项目 D： 第二年初需要投资，到第五年未能回收本利 155，但规定最大投资额不能超过 100万元。4.5 投资问题投资问题据 测定每万元每次投资的风险指数如下所示： 问： （ 1） 应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年末拥有资金的本
2、利金额为最大 ? （ 2） 应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年末拥有资金的本利在 330万的基础上使得其投资总的风险系数为最小 ?项 目 风险 指数（每万元每次）A 1B 3C 4D 5.5解 ：（ 1）这是一个连续投资的问题1）确定变量设 xij为第 i年初投资于 j项目的金额 (单位：万元 )，根据给定条件，将变量列于表 4-11：年份项 目1 2 3 4 5A x1A x2A x3A x4A x5AB x1B x2B x3B x4BC x3CD x2D因为项目 A每年都可以投资，并且当年末都能收回本息，所以该部门每年都应把资金都投出去，手中不应当有剩余的呆滞资金，因此第一年：该部
3、门年初有资金 200万元，故有 X1A+X1B=200第二年：因第一年给项目 B的投资要到第二年末才能回收，所以该部门在第二年初拥有资金仅为项目 A在第一年投资额所回收的本息 110 X1A，故有 X2A+X2B+X2D =1.1x1A第三年：第三年初的资金额是从项目 A第二年投资和项目 B第一年投资所回收的本息总和 1.1X2A+1.25x1B，故有X3A+X3B+X3C =1.1X2A+1.25X1B第四年：同以上分析，可得X4A+X4B =1.1X3A+1.25X2B第五年： X5A =1.1X4A+1.25X3B另外，由于对项目 B， C， D的投资额的限制有xiB30( i=1,2,
4、3,4),x3c80, x2D100.2）约束条件3）目标函数和模型 该问题要求在第五年末该部门手拥有的资金额达到最大，这个目标函数可以表示为 : max (1.1X5A+1.25X4B+1.40X3C+1.55X2D) 这样可以得到如下数学模型：max z=1.1X5A+1.25X4B+1.40X3C+1.55X2D约束条件 ： X1A+X1B=200X2A+X2B+X2D =1.1X1A.X3A+X3B+X3C =1.1X2A+1.25X1BX4A+X4B =1.1X3A+1.25X2BX5A =1.1X4A+1.25X3BXiB30, ( i=1,2,3,4)X3c80, X2D100.
5、 Xij0.用管理运筹学软件求得如下图：用管理运筹学软件很容易求得此问题的解：x5A=33.5 ， x4B=30， x3C=80, x2D=100 ，x1A=170, x1B=30, x2A=57, x2B=30,x3A=0, x3B=20.2, x4A=7.5.这时第五年末拥有的资金的本利（即目标函数最大值）为341.35万元从对偶价格栏可知第一年初增加投资 1万元，将导致第五年末拥有资金的本利增加 1.664万元；目前第一年投资额为 200万； 第二年初增加投资 1万元（比回收 ,因为x2a+x2b+x2d-1.1x1a=0 ） ， 将导致第五年末拥有资金的本利增加 1.513万元，目前第
6、二年的投资金额来自第一年投资于项目 A而回收的 110的本利；同样可知第三年初、第四年初、第五年初增加或减少投资 1万元，将导致第五年末拥有资金的本利分别增加或减少 1.375万元、 1.210万元、 1.1万 元；约束约束 松驰松驰 /剩余变量剩余变量 对偶价格对偶价格1 0 1.6642 0 1.5133 0 1.3754 0 1.215 0 1.1 从第 6个至第 9个约束方程对偶价格栏中可知：如果第一年、第二年、第三年、第四年 B项目的投资额的限制放松或收缩 1万元指标 (对应于 XiB30， I=1,2,3,4）， 将导致第五年末拥有的资金的本利分别增加或减少 0.055万元、 0万元、 0万元、 0.040万元；约束约束 松驰松驰 /剩余变量剩余变量 对偶价格对偶价格6 0 0.0557 0 08 9.8 09 0 0.04
