1、信息智能分析与处理n 一 模糊 (Fuzzy)数学的基本概念n 模糊数学就是用数学方法研究模糊现象n 1965年，美国数学家扎德 (L.A.Zadeh)发表论文 模糊集合 (Fuzzy Sets)，开辟了一门新的数学分支 模糊数学。n Zadeh, Lotfi A., “Fuzzy Sets ,“ Information and Control, Vol. 8 (1965), pp. 338-353.n 涉及纯粹数学、应用数学、自然科学、人文科学和管理科学等方面。在图像识别、人工智能、自动控制、信息处理、经济学、心理学、社会学、生态学、语言学、管理科学、医疗诊断、哲学研究等领域中，都得到广泛应
2、用。把模糊数学理论应用于决策研究，形成了模糊决策技术。信息智能分析与处理模糊集合是经典集合概念的推广在经典集合论(康托尔集合论 )中，每一个集合都必须由确定的元素构成，元素对于集合的隶属关系是明确的这一性质可以用特征函数 来描述： 信息智能分析与处理n n Zadeh将特征函数改成所谓的 “ 隶属函数 ” 其中 n 这里 A 称为 “ 模糊集合 ” ， 称为 x对 集合 A 的 “ 隶属度 ” n 经典集合论要求隶属度只能取 0， 1二值，模糊集合论则突破了这一限制，将隶属度扩展到了 0,1 闭区间。n 由于集合论是现代数学的重要基石，因此模糊集合的概念对数学产生了广泛的影响，人们将模糊集合引
3、进数学的各个分支从而出现了模糊拓扑、模糊群论、模糊测度与积分、模糊图论等等，它们一起形成通常所称的模糊数学 信息智能分析与处理n 实际上，模糊性是事物复杂性表现的一个方面，随着电子计算机的发展以及它对日益复杂的系统的应用，处理模糊性问题的要求也比以往显得突出，这是模糊数学产生的背景由于人脑的思维包括有精确的与模糊的两个方面，因此模糊数学在人工智能模拟方面具有重要意义 n “当系统的复杂性日趋增长时，我们作出系统特性的精确然而有意义的描述的能力将相应降低，直至达到这样一个阈值，一旦超过它，精确性和有意义性将变成两个几乎互相排斥的特性。 ”信息智能分析与处理二 模糊理论的数学基础隶属函数设 U是论
4、域，称映射A(x)： U0,1确定了一个 U上的模糊子集 A，映射 A(x)称为 A的隶属函数，表示 x对 A的隶属程度 .使 A(x) = 0.5的点 x称为 A的过渡点，此点最具模糊性 .当映射 A(x)只取 0或 1时，模糊子集 A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数 . 可见经典子集就是模糊子集的特殊情形 .n 信息智能分析与处理n 模糊子集的表达方法n 解析法，也即给出隶属函数的具体表达式。n Zadeh 记法，例如。分母是论域中的元素，分子是该元素对应的隶属度。有时候，若隶属度为 0，该项可以忽略不写。n 序偶法，例如 A = (x1,1),(x2,0.5),(x3,0.72)
5、,(x4,0)，序偶对的前者是论域中的元素，后者是该元素对应的隶属度。n 向量法，在有限论域的场合，给论域中元素规定一个表达的顺序，那么可以将上述序偶法简写为隶属度的向量式，如 A = (1,0.5,0.72,0) 。n 信息智能分析与处理n 例 设论域 U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(单位： cm)表示人的身高，那么 U上的一个模糊集 “ 高个子 ” (A)的隶属函数 A(x)可定义为也可用 Zadeh表示法：信息智能分析与处理n 模糊集的运算相等： A = B A(x) = B(x)；包含： AB
6、 A(x)B( x)；并： A B的隶属函数为(A B)(x)=A(x) B(x)；（ 取大运算）交： A B的隶属函数为(A B)(x)=A(x) B(x)；（ 取小运算）余： Ac的隶属函数为Ac (x) = 1- A(x).n 信息智能分析与处理n 例 设论域 U = x1, x2, x3, x4, x5(商品集 )，在 U上定义两个模糊集： A =“ 商品质量好 ” ， B =“ 商品质量坏 ”，并设A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1).B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).n 则 Ac=“商品质量不好 ”, Bc=“商品质量不坏Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0).Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).n 可见 Ac B, Bc A.信息智能分析与处理n 又 A Ac = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U,n A Ac = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0)
