1、变分法在最优控制中的应用 (1/2)第三章 变分法在最优控制中的应用q 动态系统的最优控制问题是一类有状态方程 (微分方程 )约束、目标集的等式或不等式约束、以及容许控制的开集或闭集性约束的泛函极值问题。 本章将基于泛函极值问题的欧拉方程和横截条件 ,讨论最优控制中的泛函极值问题求解。 本章研究的内容为 具有等式约束条件下的变分问题 末态时刻固定、末态无约束的最优控制问题 末态时刻和末态固定的问题 末态时刻 固定、末态受约束的问题 末态时刻未定的问题 具有等式约束条件下的变分问题 (1/10)3.1 具有等式约束条件下的变分问题 q 具有等式约束条件下 ,多个宗量函数的泛函极值问题可表示如下。
2、 等式约束变分问题 寻找一条连续可微的极值曲线 ,使性能泛函达到极值 , 极值曲线 x(t) 满足微分方程形式的等式约束式中 , 为 m维 (mn) 关于 t, x 和的非线性向量函数。 具有等式约束条件下的变分问题 (2/10)q 这里 ,极值曲线 x(t)除满足边界条件和古典变分学中规定的连续可微条件外 , 还须满足该等式约束条件。 由于动态系统的状态方程可归为等式约束 , 因此该 等式约束变分问题 是研究最优控制的基础。 下面就给出并证明处理 等式约束变分问题 的 等式约束变分定理。具有等式约束条件下的变分问题 (3/10) 定理 4q 定理 4(等式约束变分定理 ) 如果 n维向量函数
3、 x(t)能使 等式约束变分问题 取极值 ,那么 ,必存在待定的 m维拉格朗日乘子向量函数 (t), 使泛函 达到无条件极值 ,即极值曲线 x(t)是上述泛函所满足的欧拉方程和等式约束条件 (47) 的解 , 其中具有等式约束条件下的变分问题 (4/10)q 引进拉格朗日乘子可以将泛函的条件极值问题化为一个无条件的极值问题。 引入该定理的作用 ,仅仅是表明泛函 J在等式约束条件下的极值曲线 x(t),同时使得泛函 J和 J1达到无条件极值。 在后面还要详细讲解具有约束条件下求解极值问题的泛函变分问题。具有等式约束条件下的变分问题 (5/10) 例 7q 上述欧拉方程和约束条件共有 n+m个方程
4、 ,恰好可以解出 n+m个未知函数 x(t) 和 (t)。 通过边界条件确定 x(t) 和 (t) 中的积分常数。 随着终端条件的不同 , 边界条件也不同。 在 2.4节和 2.5节所讨论横截条件就能解决这个问题。q 例 6 火箭在自由空间里的运动作用可用下列微分方程描述式中 , u(t)为推力 ; (t)为角位移。具有等式约束条件下的变分问题 (6/10) 令 x1(t)=(t), x2(t)=(t),可建立状态方程如下 试求控制函数 u(t),使系统从初始状态经过 t = 2s 转移到状态空间原点 , 即且使如下性能指标取极小。具有等式约束条件下的变分问题 (7/10)q 解 该问题属于终端固定的极值问题。 选择向量拉格朗日乘子函数 (t)=1(t), 2(t),由定理 4,利用拉格朗日乘子法可得如下辅助泛函指标式中，式中状态变量 x(t)、 控制函数 u(t)和向量拉格朗日乘子函数(t)都为该泛函的宗量。 在一般形式中没有宗量 u(t), 实际上 ,我们可以把 u(t)和 x(t)一样来处理 ,比如 ,在本例中可以定义 u(t)=x3(t)。具有等式约束条件下的变分问题 (8/10) 那么 ,这些 泛函的宗量必须满足如下欧拉方程具有等式约束条件下的变分问题 (9/10) 联立求解上述欧拉方程 ,可得
