1、线性二次型最优控制 (1/12)第 5章 线性二次型最优控制q 对于最优控制问题 , 极大值原理很好地描述了动态系统的最优控制解的存在性。 但对于复杂的控制问题 ,如非线性系统的控制问题、系统模型与性能指标函数对控制量 u(t)不为连续可微的控制问题 , 其最优控制规律存在性确定有很多困难 , 如 非线性常微分方程求解 最优控制的非平凡性问题 , 会带来闭环控制系统工程实现时困难性 , 难以得到统一、简洁的最优控制规律的表达式。线性二次型最优控制 (2/12)q 然而，对于 线性系统 , 若以状态变量 x(t)和控制变量 u(t)的二次型函数的积分作为性能指标泛函 , 这种动态系统的最优控制问
2、题称为线性系统的最优二次型性能指标的最优控制问题,简称为 线性二次型 问题，则有很多好的性质。 该类问题的优点是能得到最优控制解 u*(t)的 统一解析表达形式 和一个简单的且易于工程实现的 最优状态反馈律。 因此 , 线性二次型问题对于从事自动控制研究的理论工作者和工程技术人员都具有很大吸引力。 近 40年来 ,人们对各种最优 状态反馈 控制系统的结构、性质以及设计方法进行了多方面的研究 ,并且有许多成功的应用。线性二次型最优控制 (3/12) 线性二次型问题是最优控制理论中发展最为成熟、最有系统性、应用最为广泛和深入的分支。 本节将陆续介绍线性二次型问题及其解的存在性、唯一性和最优控制解的
3、充分必要条件。p 线性系统的二次型性能指标的最优控制问题可表述如下，线性二次型最优控制 (4/12)q 线性二次型最优控制问题 对于线性时变系统的状态方程和输出方程为式中 , x(t)是 n维状态向量 , u(t)是 r维控制向量 , y(t)是 m维输出向量 假定： A(t)， B(t)和 C(t)分别是 nn,nr和 mn维的分段连续的时变矩阵。 假定系统的维数满足 0mrn, 且 u(t)不受约束 。 z(t) 表示 m维 期望 的输出 , 则定义输出误差向量如下 e(t)=z(t)-y(t)线性二次型最优控制 (5/12) 控制的目标是寻找最优控制函数 u*(t), 使下列二次型性能指
4、标泛函为最小式中 , F为 mm 维 非负定 的常数矩阵 ; Q(t)为 mm 维时变的分段连续的 非负定 矩阵 ; R(t)为 rr 维时变的分段连续的 正定矩 阵 , 且其逆矩阵存在并有界 ; 末态时刻 tf 是固定的。线性二次型最优控制 (6/12)q 下面对论上述性能指标泛函 :1) 性能指标泛函 Ju()中的第 1项 e(tf)Fe(tf),是为了突出对末态目标 的控制误差的 要求和限制 而引进的 ,称为末端成本函数。 非负定的常数矩阵 F为加权矩阵 ,其各行各列元素的值的不同 ,体现了对误差向量 e(t)在末态时刻 tf各分量的要求不同 , 重要性不同。 若矩阵 F的 第 i行第
5、i列 元素值 较大 ,代表二次项的重要性较大 , 对其精度要求较高。线性二次型最优控制 (7/12)2) 性能指标泛函 Ju()中的 被积函数 中的第 1项 e(t)Q(t)e(t),表示在系统 过渡过程中对误差向量 e(t)的要求和限制。 由于时变的加权矩阵 Q(t)为非负定的 ,故该项函数值总是为非负的。v 一般情况下 ,e(t)越大 ,该项函数值越大 ,其在整个性能指标泛函所占的份量就越大。因此 , 对性能指标泛函求极小化体现了对 误差向量 e(t)的大小的约束和限制 。v 在 e(t)为标量函数时 ,该项可取为 e2(t),于是该项与经典控制理论中判别系统性能的 误差平方积分指标一致。
6、线性二次型最优控制 (8/12) 非负定的时变矩阵 Q(t)为加权矩阵 ,其各行各列元素的值的不同 ,体现了对相应的误差向量 e(t)的分量在各时刻的要求不同、重要性不同 。v 时变矩阵 Q(t)的不同选择 , 对闭环最优控制系统的性能的影响较大。线性二次型最优控制 (9/12)3) 性能指标泛函 Ju()中的被积函数的第 2项 u(t)R(t)u(t),表示在系统工作过程中对控制向量 u(t)的 要求和限制 。 由于时变的加权矩阵 R(t)为 正定 的 ,故该项函数值在u(t)为非零向量时总是为正的。v u(t)越大 ,该项函数值越大 ,其在整个性能指标泛函所占的分量就越大。v 对性能指标泛
7、函求极小化体现了对 控制向量 u(t)的大小的约束和限制 。注： 如 u(t)为与 电压或电流 成正比的标量函数时 ,该项为 u2(t),并与功率成正比 , u2(t)dt则与在 t0,tf区间内 u(t)所做的功或所消耗的能量成正比。线性二次型最优控制 (10/12)v 因此 ,该项是用来衡量控制功率大小的代价（成本）函数。v 正定的时变矩阵 R(t)亦为加权矩阵 , 其各行各列元素的值的不同 , 体现了对相应的控制向量 u(t)的分量在各时刻 (t)的要求不同、重要性不同。 时变矩阵 R(t)的不同选择 , 对闭环最优控制系统的性能的影响较大。v 综上所述 ,可见线性系统的二次型性能指标泛函的最优控制问题的实质在于用不大的控制量 ,来保持较小的控制误差 ,以达到所耗费的能量和控制误差的综合最优。
