1、第四章 李雅普诺夫稳定性分析4.3 线性系统的稳定性分析q 本节主要研究李雅普诺夫方法在线性系统中的应用。 讨论的主要问题有 :基本方法 : 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析矩阵李雅普诺夫方程的求解线性时变连续系统的李雅普诺夫稳定性分析线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性定理及稳定性分析q 由上节知 ,李雅普诺夫第二法是分析动态系统的稳定性的有效方法 ,但具体运用时将涉及到如何选取适宜的李雅普诺夫函数来分析系统的稳定性。 由于各类系统的复杂性 ,在应用李雅普诺夫第二法时,难于建立统一的定义李雅普诺夫函数的方法。 目前的处理方法是 ,针对系统的不同分类和特性 ,分别寻找建立李雅普诺夫函数的方
2、法。q 设线性定常连续系统的状态方程为x=Ax这样的线性系统具有如下特点 :1) 当系统矩阵 A为非奇异时 ,系统有且仅有一个平衡态 xe=0,即为状态空间原点 ;2) 若该系统在平衡态 xe=0的某个邻域上是渐近稳定的 ,则一定是大范围渐近稳定的 ;3) 对于该线性系统 ,其李雅普诺夫函数一定可以选取为二次型函数的形式。 本节将讨论对线性系统 ,包括 线性定常连续系统 、 线性时变连续系统 和 线性定常离散系统 ,如何利用李雅普诺夫第二法及如何选取李雅普诺夫函数来分析该线性系统的稳定性。q 定理 4-7 线性定常连续系统x=Ax的平衡态 xe=0为渐近稳定的充要条件为 : 对任意给定的一个正
3、定矩阵 Q,都存在一个正定矩阵P为矩阵方程PA+AP=-Q的解 ,并且正定函数 V(x)=xPx即为系统的一个李雅普诺夫函数。 4.3.1 线性定常连续系统的稳定性分析证明过程为： 已知满足矩阵方程PA+AP=-Q的正定矩阵 P存在 ,故令V(x)=xPx. 由于 V(x)为正定函数 ,而且 V(x)沿轨线对时间 t的全导数为V(x)=(xPx)=xPx+xPx=(Ax)Px+xPAx=x(PA+AP)x=-xQx而 Q为正定矩阵 ,故 V(x)为负定函数q 上述定理给出了一个判别线性定常连续系统渐近稳定性的简便方法 ,该方法 不需寻找李雅普诺夫函数 , 不需求解系统矩阵 A的特征值 ,只需解
4、一个矩阵代数方程即可 ,计算简便。 该矩阵方程又称为李雅普诺夫矩阵代数方程。q 在实际应用中 : 如果 V(x,t)=-xQx沿任意一条状态轨线不恒为零 ,那么 Q可取为非负定矩阵 ,而系统在原点渐近稳定的充要条件为 : 存在正定矩阵 P满足李雅普诺夫代数方程。 Q矩阵只要选成正定的或根据上述情况选为非负定的 ,那么最终的判定结果将与 Q的不同选择无关。 由 定理 4-7可知 ,运用此方法判定系统的渐近稳定性时 ,最方便的是选取 Q为单位矩阵 ,即 Q=I。 于是 ,矩阵 P的元素可按如下李雅普诺夫代数方程 :PA+AP=-I求解 ,然后根据 P的正定性来判定系统的渐近稳定性。q 下面通过一个例题来说明如何通过求解矩阵李雅普诺夫方程来判定线性定常系统的稳定性。q 例 4-9 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。q 解 设选取的李雅普诺夫函数为V(x)=xPx 由 定理 4-7可知 ,上式中的正定矩阵 P满足李雅普诺夫方程PA+AP=-I.
