1、6速度势函数和流函数的主要性质 (1) 速度势函数的等值线与流线正交，流函数的等值线与流线重合。 由 数学知又 流线 与 v = 相切所以 (x, y, t) = C 与 流线正交以上性质不仅对于平面流动成立，对于轴对称和三元流动也同样成立。在三元流动中， = C 称为等速度势面 (等势面 )。 (x, y, t) = C - 等速度势线 (等势线 )1第二章 -1二元流线微分方程 可见， (x, y, t) = C 与流线重合。2第二章 -1在应用中把流函数等值线 ( = C)称为流线。实际 = C 并不等同于流线 ，流函数是由不可压缩二维流动的连续性方程引入和定义的，只是对于特定的流动才能
2、引入流函数 ，而流线则是对所有速度不全为零的流场，由速度矢量的方向定义的。 在物面边界上流函数的值是个常数，所以物面边界也可以被当作是流场中的一条流线。反过来说， 流场中任意一条流线也可以被看作是物面边界 。例例3第二章 -1 = C 与流线正交， = C 与流线重合，所以曲线 = C 与曲线 = C 正交。 两族曲线正交。由速度势函数和流函数的性质不难判断，部分曲线与圆正交的那一族是等速度势线，而其中一条与物面相重合的那一族是流线。 = C = C例4第二章 -1(2) 在单连通区域中，沿任意曲线的切向速度积分等于曲线两端点上速度势值之差，而且积分值与路径无关。通过连接两条流线的任意曲线的体
3、积流量等于这两条流线上流函数值之差。 对于无旋流动存在速度势函数，此时在单连通区域上沿两端点分别为 A 和 B 的任意曲线的切向速度积分为 积分与路径无关，它等于积分路径两端点上的速度势值之差。5第二章 -1在 微元 ds 上因为讨论的是平面问题，所谓通过某曲线的流量应该被理解为通过垂直方向为单位厚的曲面的流量。 - dxdy dsn6第二章 -1流动无旋，所以存在相应的速度势函数。例 已知平面不可压缩流动的流函数 = ax2 -ay2 ；证明流动无旋，并求出相应的速度势函数。解7第二章 -1对 y 取偏导数，得可见， C (y) = 0， 即 C(y) = C (常数 )可以在速度势函数上加或减任意常数，所以8第二章 -1解 （ 1） 对于流动 (a) 有显然满足不可压缩流体流动的连续性方程存在对应的流函数。积分后得到： = y -2x (略去了积分常数 ) 。例 设平面流动 (a) u = 1, v = 2； 流动 (b) u = 4x, v =-4y。（ 1） 对于 (a) 是否存在流函数 ？若存在，求 。（ 2）对于 (b) 是否存在速度势函数 ？若存在，求 。9第二章 -1（ 2） 对于流动 (b) 有积分后得到： = 2x2 -2y2 (已略去积分常数 )满足无旋条件存在相对应的速度势函数。10第二章 -1
