1、2011（2012）级 概率统计 期末试卷（一）卷 2013.7.3一 填空题：（每小题 3 分，共 30 分）1. 为三个随机事件，事件“ 至少发生一件” 可表示为 。,ABC,ABCABC【解】根据定义，这是 三个事件的和事件，即可表示为,AB2从 1，2，3，4 中随机取出两个数，则事件“其中一个数是另一个数的两倍”的概率是 。【解】设事件 为“ 其中一个数是另一个数的两倍” 的事件，事件 发生只有两A A种可能： 与（2,4） ，而 中随机取出两个数的方式数（即样本(1,2)1,234空间的样本点的总数）为 24!6()2C因此 事件的概率为A1()63P3一批产品中有 5%不合格品，
2、而合格品中一等品占 60%，从这批产品中任取一件，取出的是一等品的概率为 0.57。【解】设 表示“产品是一等品”事件， 表示“产品是合格品”事件， 表ABB示“产品是不合格品”事件。由题意知，()0.5()0.95PB()0.6PA由全概公式知：0.950.50.6()()(.7#AB4设 是相互独立的随机事件，已知 ，则,B.,()0.6PAB【解】 ，因为 独立，故有()P()()P,A()()PAB因此 ()0.56.0.8PAB5. 某零件长度 服从正态分布 ,规定长度在范围 内为合X6.0,12N12格, 则零件合格的概率是 。 ( )0.96)98【解】设 表示为“零件合格”事件
3、，由题意知 ，则A10,.6. 2()9.810.26.2()()1()()1.6XPXP因 ，故()09820.981.#A6. 设正方形的边长 服从区间 上的均匀分布，则正方形面积的数学期X(,)望 。2()E43【解】均匀分布的概率密度 为()fx1,02()fxotherwis2322200118()()()4#3xEXfdx7. 已知二维随机变量 在矩形区域 上服(,)Y(,)|1,02Dxyy从均匀分布，则 。1PX2【解】矩形面积 ，因此联合概率密度 为s(,)fxy,01,(,)2xyfxyotherwis则111000(,)(,)2,#2PXYfxyddxydy8. 设 是
4、次独立重复试验中事件 发生的次数， 是事件 发生的概率，AnApA则对任意正数 ，有 。limnPp0【解】由伯努利大数定理可知li1,li0AAnnpp其意义是：事件发生的频率 依概率收敛于事件的概率 。p9. 设 是来自于正态总体 的样本, 样本均值 ，12,nX 2()N1niiX则 = 。()D【解】因为 因此有，2()X222212112 1()().()()nni i ni iDXDXD10. 设 是来自总体 的样本，以下四个总体均值 的估计321,XX(1)、 ， (2)、32111Y 2123XY(3)、 ， (4)、 。321344 214无偏估计有： ，其中最有效的是： 。
5、3Y、 、 1【解】 （1）无偏性当估计量 的数学期望 存在，且对于任意 有12(,.)nX()E)E则称 为参数 的无偏估计量。依题意 ，则逐个判断是否是无偏估计量；123()()EXEX1221231)()()()3()YEXEX表明： 是无偏估计量；12124()()()33EYXE表明： 不是无偏估计量；312212311()()()()()444XEXEEY表明： 是无偏估计量；341241()()()2XEY表明： 是无偏估计量（2）有效性设 与 都是 的无偏估计量，若对12(,.)nX212(,.)nX于任意 ，若有 ，则1()D则称 较 有效。12仅需要比较 的大小34()()
6、YY、 、依题意 212DXX而22222222 211231323 341211 1()()();();448()()().DYXDXXDDY34(Y表明： 最有效1二 计算题：（每小题 10 分，共 70 分）1抛掷两颗均匀骰子，观察出现的点数，(1) 以集合的形式写出试验的样本空间 和事件 第一颗的点数大于第二颗 并求其概率 (2) 在已知两颗点数不A同的条件下，求其中一颗点数是 1 的概率【解】 （1）每颗骰子均有 6 个点：1,2,3,4,5,6，因此两颗骰子出现点数的组合共有种方式，样本空间 为：263共 36 种方式:1,4,516;2,34,526;1,34,56;2,3,A共
7、 1+2+3+4+5=15 种方式，因此15()#6P（2）设事件 在已知两颗点数不同的条件下，其中一颗点数是 1B两骰子点数不同的组合共 种方式；其中一颗点数为 1 的2630组合有（61）2=10 种方式：12,13,14,15,16；21,31,41,51,61因此01()#3PB2. 已知在 10 件产品中有 2 件次品，在其中取两次 , 每次任取一件, 取后不放回, 求下列事件的概率 (1) 至少有一件次品 (2) 一件正品，一件次品 (3) 第二次取出的是次品 (写出计算过程,只写答案不给分) 【解】 （1）设事件 任取两次，每次取一件，至少有一件次品A则 =任取两次，每次取一件，
8、两次都是正品，因此872()10945P 2817()1().()45PA（2）设事件 任取两次，每次取一件，一件正品，一件次品B12().()C（3）设事件 任取两次，每次取一件，两次都是次品7215()().(3)4PA3. 已知连续型随机变量 的概率密度为 ，X,01()22xfels（1）求 ， （2）求 的数学期望与方差(0.5)P(13)PX.【解】 （1） ，X0.520.5(.)()1.()xd221 1 1(13)()()(4)(2)0.5(2)xPXx（2） ,ED12331201014233()()()()18.xxxfdxdEX1233122 01014233 1244
9、122 3010143()()()()18).()()()16() xxEXxfdxdEXxxxfdxxd251277 .(46611()()().(5)EXDXEXD4. 将两封信随机投入三个邮筒，设 分别表示投入第一，二个邮筒的信的,Y数目，(1)求 的联合概率分布和边缘概率分布(填入下表)，(2) 求第一，二,XY个邮筒的信的总数 的概率分布 (3) 求(,)CovX【解】 （1） 的联合分布律和边缘概率分布(,)设 分别为投入第一、第二与第三个邮筒的信的数目，XYZ信的总数 22NYZ因此，样本空间的样本点数为共 6 种方式，因此0,1;0,;Y X 0 1 2 ip:0 6611 0
10、 32 0 0jp:1361（2） 的概率分布XYXY0 1 2()P166316（3） ,Cov因为 ()()()XYEXEY而且 ，同理1102661(2: ()EXY0 1 2 4()P(0)(1)(02)(10)(2)56660 05()()66EXYEXY于是 的协方差 为, ,Cov11(,)()()#62ov5. 计算器在进行加法时，将每个加数舍入最近的整数，设所有舍入误差 服从X上的均匀分布且相互独立 (1) 写出 的概率密度，数学期望，方差 (0.5,) X(2) 将 1200 个数相加，用中心极限定理计算误差总和的绝对值小于 10 的概率（）(1).84【解】 （1） ()
11、,()fxEXD10.5.(1),xfotherwis0.5().2d因为奇函数在对称区间的积分为零。0.530.50.522221()1().(3)8().4xEXxdDEX（2）由中心极限定理可知：设随机变量 相互独立，服从12,.,.nX同一分布，且具有数学期望和方差：，则随机变量之和 的标准2(),()0(,.)kkEXk1nkX化变量 的分布函数 对于任意 满足1nkY()nFxx1lim()lilim()/nkn nXXFxPxPx今 ，1201203,023标准化随机变量 为Z1110203/nnnkkkXX1 1(1)0.84n nk kPP 6. 设盒内有黑,白两种球，白球所
12、占比例是 , 从盒中随机取一球，(0)p然后放回，这样取 10 次，发现取到 6 个白球 4 个黑球，(1) 白球记为 1，黑球记为 0，写出总体的分布，并求出白球比例 的矩估计 p(2) 用最大似然估计法，估计白球比例 最可能是多少？p【解】 （1）总体分布与 的矩估计p总体 =为非白即黑的 0-1 分布： ，即X(1,)Xbp:x0 1()Px1p为总体的一个样本， 为 （ ）的样本值，1210,.XixiX1,2.0且已知样本值之和 ，因此样本均值106ix106.ii鉴于 ，故 总体均值 ，用样本均值 替代总体(,)Xbp:()EXpX均值 ，得参数 的矩估计量 ，其值为 ()E0.6（2）用最大似然估计法估计 的最可能值1(),0xpP故似然函数为1010101210(),.;)()()i ii ixxxxiLpxpp相应的对数似然函数为 1010ln()ln()ln(i ixpx令 0，即ldLp11010101010 10()ln() ()()ii i ii iixxpxpxdppxx于是， 的最大似然估计值为p10.6ix的最大似然估计量为10iipX这一估计量与相应的矩估计量相同。7为调查某脱脂奶粉的脂肪含量，现随机抽取 36 罐奶粉进行试验，得到其平
