1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学理 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求 1.(5 分 )设 i 是虚数单位， 是复数 z 的共轭复数，若 (z )i+2=2z，则 z=( ) A. 1+i B. 1-i C. -1+i D. -1-i 解析 ：设 z=a+bi(a， b R)，则 ， 由 ，得 (a+bi)(a-bi)i=2(a+bi)，整理得 2+(a2+b2)i=2a+2bi. 则 ，解得 .所以 z=1+i. 答案： A. 2.(5 分 )如图所示，程序框图 (算法流程图 )的输出结果是 ( ) A. B.
2、 C. D. 解析 ： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算并输出 S= + + 的值 S= + + = . 答案： D. 3.(5 分 )在下列命题中，不是公理的是 ( ) A. 平行于同一个平面的两个平面平行 B. 过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面 C. 如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内 D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 解析 ： B， C， D 经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理；而 A 平行于同一个平面的两
3、个平面平行是定理不是公理 . 答案： A. 4.(5 分 )“a0” 是 ” 函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间 (0， + )内单调递增 ” 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析 ： 当 “a0” 时， x (0， +) ， f(x)=|(ax-1)x|=-a(x- )x，结合二次函数图象可知函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间 (0， +) 内单调递增 . 若 a 0，如取 a=1，则函数 f(x)=|(ax-1)x|=|(x-1)x|，当 x (0， +) 时 f(x)= ，如图所示，它在区间 (0， +)
4、 内有增有减， 从而得到函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间 (0， +) 内单调递增得出 a0. ”a0” 是 ” 函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间 (0， +) 内单调递增 ” 的充要条件 . 答案： C. 5.(5 分 )某班级有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为 86， 94， 88， 92， 90，五名女生的成绩分别为 88， 93， 93， 88， 93，下列说法正确的是 ( ) A. 这种抽样方法是一种分层抽样 B. 这种抽样方法是一种系统抽样 C. 这五名男生成绩的方差大
5、于这五名女生成绩的方差 D. 该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩 的平均数 解析 ： 根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样 . 五名男生这组数据的平均数 =(86+94+88+92+90)5=90 ， 方差 = (86-90)2+(94-90)2+(88-90)2+(92-90)2+(90-90)2=8. 五名女生这组数据的平均数 =(88+93+93+88+93)5=91 ， 方差 = (88-91)2+(93-91)2+(93-91)2+(88-91)2+(93-91)2=6. 故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 . 答案： C. 6.(5 分 )已知一元二次不等
6、式 f(x) 0 的解集为 x|x -1 或 x ，则 f(10x) 0 的解集为( ) A. x|x -1 或 x -lg2 B. x| -1 x -lg2 C. x|x -lg2 D. x|x -lg2 解析 ： 由题意可知 f(x) 0 的解集为 x|-1 x ，故可得 f(10x) 0 等价于 -1 10x ， 由指数函数的值域为 (0， +) 一定有 10x -1，而 10x 可化为 10x ，即 10x 10-lg2， 由指数函数的单调性可知： x -lg2 答案： D 7.(5 分 )在极坐标系中圆 =2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为 ( ) A. =0( R)和 co
7、s=2 B. = ( R)和 cos=2 C. = ( R)和 cos=1 D. =0( R)和 cos=1 解析 ： 如图所示，在极坐标系中圆 =2cos 是以 (1， 0)为圆心， 1 为半径的圆 . 故圆的两条切线方程分别为 ( R)， cos=2. 答案： B. 8.(5 分 )函数 y=f(x)的图象如图所示，在区间 a， b上可找到 n(n2 )个不同的数 x1， x2， ，xn，使得 = ，则 n 的取值范围是 ( ) A. 3， 4 B. 2， 3， 4 C. 3， 4， 5 D. 2， 3 解析 ： 表示 (x， f(x)点与原点连线的斜率 ， 若 =， 则 n 可以是 2，
8、如图所示： n 可以是 3，如图所示： n 可以是 4，如图所示： 但 n 不可能大于 4 答案： B 9.(5 分 )在平面直角坐标系中， O 是坐标原点，两定点 A， B 满足 | |=| |= =2，则点集 P| = + ， |+|1 ， ， R所表示的区域的面积是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 由两定点 A， B 满足 = =2，说明 O， A， B 三点构成边长为 2 的等边三角形 . 不妨设 A( )， B( ).再设 P(x， y). 由 ，得：. 所以 ，解得 . 由 |+|1. 所以 等价于 或 或 或 . 可行域如图中矩形 ABCD 及其内部区域， 则区域面积为
9、 . 答案： D. 10.(5 分 )若函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有极值点 x1， x2，且 f(x1)=x1，则关于 x 的方程3(f(x)2+2af(x)+b=0 的不同实根个数是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析 ： f(x)=3x 2+2ax+b， x1， x2是方程 3x2+2ax+b=0 的两根，不妨设 x2 x1， 由 3(f(x)2+2af(x)+b=0，则有两个 f(x)使等式成立， x1=f(x1)， x2 x1=f(x1)， 如下示意图象：如图有三个交点， 答案： A. 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5分，共 25分 11.(5
10、 分 )若 的展开式中 x4的系数为 7，则实数 a= . 解析 ： 由通项公式 Tr+1= = ， 的展开式中 x4的系数为 7， ，解得 . 答案： . 12.(5 分 )设 ABC 的内角 A， B， C 所对边的长分别为 a， b， c，若 b+c=2a， 3sinA=5sinB，则角 C= . 解析 ： 3sinA=5sinB ， 由正弦定理，可得 3a=5b， a= ， b+c=2a ， c= ， cosC= =- ， C (0， ) ， C= . 答案： 13.(5 分 )已知直线 y=a 交抛物线 y=x2于 A， B 两点，若该抛物线上存在点 C，使得 ACB 为直角，则 a
11、 的取值范围为 1， + ) . 解析 ： 如图所示，可知 A ， B ， 设 C(m， m2)， ， . 该抛物线上存在点 C，使得 ACB 为直角， = .化为 m2-a+(m2-a)2=0. m ， m 2=a-10 ，解得 a1.a 的取值范围为 1， +). 答案： 1， +). 14.(5 分 )如图，互不相同的点 A1， A2， ， An， 和 B1， B2， ， Bn， 分别在角 O 的两条边上，所有 AnBn相互平行，且所有梯形 AnBnBn+1An+1的面积均相等，设 OAn=an，若 a1=1， a2=2，则数列 an的通项公式是 . 解析 ： 设 ， OA 1=a1=1
12、， OA2=a2=2， A1B1A 2B2， A 1B1是三角形 OA2B2的中位线， = = ， 梯形 A1B1B2A2的面积 =3S. 故梯形 AnBnBn+1An+1的面积 =3S. 所有 AnBn相互平行， 所有 OA nBn(n N*)都相似， ， ， ， ， ， ， ， . 数列 是一个等差数列，其公差 d=3，故 =1+(n-1)3=3n -2. . 因此数列 an的通项公式是 . 答案： . 15.(5 分 )如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1， P为 BC 的中点， Q 为线段 CC1 上的动点，过点 A， P， Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S，则下
13、列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号 ). 当 0 CQ 时， S 为四边形 当 CQ= 时， S 为等腰梯形 当 CQ= 时， S 与 C1D1的交点 R 满足 C1R= 当 CQ 1 时， S 为六边形 当 CQ=1 时， S 的面积为 . 解析 ： 如图 当 CQ= 时，即 Q 为 CC1中点，此时可得 PQAD 1， AP=QD1= = ， 故可得截面 APQD1为等腰梯形，故 正确； 由上图当点 Q 向 C 移动时，满足 0 CQ ，只需在 DD1上取点 M 满足 AMPQ ， 即可得截面为四边形 APQM，故 正确； 当 CQ= 时，如图， 延长 DD1至 N，使 D1N= ，
14、连接 AN 交 A1D1于 S，连接 NQ 交 C1D1于 R，连接 SR， 可证 ANPQ ，由 NRD 1QRC 1，可得 C1R： D1R=C1Q： D1N=1： 2，故可得 C1R= ，故正确； 由 可知当 CQ 1 时，只需点 Q 上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的 APQRS，显然为五边形，故错误； 当 CQ=1 时， Q 与 C1重合，取 A1D1的中点 F，连接 AF，可证 PC1AF ，且 PC1=AF， 可知截面为 APC1F 为菱形，故其面积为 AC1PF= = ，故正确 . 答案： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 .解答时应写出文字说明、证明过程或演算
15、骤 16.(12 分 )已知函数 f(x)=4cosx sin(x+ )( 0)的最小正周期为 . (1)求 的值； (2)讨论 f(x)在区间 0， 上的单调性 . 解析 ： (1)先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，求实数 的值； (2)由于 x 是 0， 范围内的角，得到 2x+ 的范围，然后通过正弦函数的单调性求出 f(x)在区间 0， 上的单调性 . 答案： (1)f(x)=4cosxsin(x+ )=2 sinxcosx+2 cos2x=(sin2x+cos2x)+ =2sin(2x+ )+ ， 所以 T= = ， =1. (2
16、)由 (1)知， f(x)=2sin(2x+ )+ ， 因为 0x ，所以 2x+ ， 当 2x+ 时，即 0x 时， f(x)是增函数， 当 2x+ 时，即 x 时， f(x)是减函数， 所以 f(x)在区间 0， 上单调增，在区间 ， 上单调减 . 17.(12 分 )设函数 f(x)=ax-(1+a2)x2，其中 a 0，区间 I=x|f(x) 0 ( )求 I 的长度 (注：区间 (a， )的长度定义为 - )； ( )给定常数 k (0， 1)，当 1-ka1+k 时，求 I 长度的最小值 . 解析 ： () 解不等式 f(x) 0 可得区间 I，由区间长度定义可得 I 的长度； () 由 () 构造函数 d(a)= ，利用导数可判断 d(a)的单调性，由单调性可判断 d(a)的最小值必定在 a=1-k 或 a=1+k 处取得，通过作商比较可得答案 . 答案： () 因为方程 ax-(1+a2)x2=0(a 0)有两个实根 x1=0， 0， 故 f(x) 0 的解集为 x|x1 x x2，因此区间 I=(0， )，区间长度为 ； () 设 d(a)= ，则 d(a)= ， 令 d(a)=0 ，得 a=1，由于 0 k 1，
