1、第 3章 控制系统的能控性和能观测性在多变量控制系统中，能控性和能观测性是两个反映控制系统构造的基本特性，是现代控制理论中最重要的基本概念。本章的内容为：1. 引言 能控性、能观测性的基本概念2. 能控性及其判据3. 能观测性及其判据4. 离散系统的能控性和能观测性5. 对偶原理6. 能控标准形和能观测标准形7. 能控性、能观测性与传递函数的关系8. 系统的结构分解9. 实现问题10. 使用 MATLAB判断系统的能控性和能观测性3.1 引言首先，通过例子介绍能控性、能观测性的基本概念。例 3-1 电路如下图所示。如果选取电容两端的电压 为状态变量，即： 。 电桥平衡时，不论输入电压 如何改变
2、，不随着 的变化而改变，或者说状态变量不受 的控制。即：该电路的状态是不能控的。显然，当电桥不平衡时，该电路的状态是能控的。例 3-2 电路如下图所示，如果选择电容 C1、 C2两端的电压为状态变量，即： ， ，电路的输出 为 C2上的电压，即 ，则电路的系统方程为如果初始状态为系统状态转移矩阵为系统状态方程的解为可见，不论加入什么样的输入信号，总是有一般情况下，系统方程可以表示为（ 1）状态能控与否，不仅取决于 B 阵（直接关系），还取决于 A 阵（间接关系）。系统状态转移矩阵为系统能观测问题是研究测量输出变量 y 去确定状态变量的问题。例 3-3 电路如下图所示。选取 为输入量， 为输出量
3、，两个电感上的电流分别作为状态变量，则系统方程为系统状态方程的解为为了简便起见，令 则对于不能观测的系统，其不能观测的状态分量与 y 既无直接关系，又无间接关系。状态是否能观测不仅取决于 C，还与 A 有关。一般情况下，系统方程如式（ 1）所示，状态能观测与否，不仅取决于 C 阵（直接关系），还取决于 A阵（间接关系）。从上式可知，不论初始状态为什么数值，输出 仅仅取决于其差值 。当 ，则输出恒等于零。显然，无法通过对输出的观测去确定初始状态，称这样的系统是不能观测的。3.2 能控性及其判据3.2.1 线性定常系统的能控性及其判据1. 能控性定义线性定常系统的状态方程为（ 2）给定系统一个初始
4、状态 ，如果在 的有限时间区间 内，存在容许控制 ，使 ，则称系统状态在 时刻是能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全能控的。说明：1） 初始状态 是状态空间中的任意非零有限点，控制的目标是状态空间的坐标原点。（如果控制目标不是坐标原点，可以通过坐标平移，使其在新的坐标系下是坐标原点。）2）如果在有限时间区间 内，存在容许控制 ，使系统从状态空间坐标原点推向预先指定的状态 ，则称系统是状态能达的；由于连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，因此系统的能控性和能达性是等价的。3）只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能控的。4）满足（ 3）式的初始状态，必是能控状态。（详见 83页）（ 3）5）当系统中存在不依赖于 的确定性干扰 时， 不会改变系统的能控性。（ 4）2. 能控性判据定理 3-1 （ 2）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下面的 nn维格拉姆矩阵满秩（ 5）（证明参见教材 84页）（这个定理为能控性的一般判据。但是，由于要计算状态转移矩阵，比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据。）定理 3-2 （ 2）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下面的 nnr 维能控性矩阵满秩。（ 6）（ 7）证明 应用凯 -哈定理，有上式代入（ 3）式（ 8）
