川师概率论第二章习题解答.doc

1、习题二1. 设随机变量 的分布函数为X.6,1,32,04,)(xxF试求 的概率分布列及 ， ， ， .X)(XP)()(XP)3(解: 随机变量 的分布列为 0p412612则 ； ；)( 31)()0(F； .263PX 263PX2. 设离散型随机变量 的分布函数为 .2,13,0)(xbaxxF且 ，试求 ， 和 的分布列.21)(XPabX解：由分布函数的定义可知 又因为 ，则)( 67213)02()()( babaFP故 ， .61a5b3. 设随机变量 的分布函数为X.,1,ln,)(exx试求 ， ， .)5.2(P5.30()52.XP解: 根据题意 为连续型随机变量，则

2、X，ln)(F，1)0(.30.).( F。3ln5.12.1 4. 若 ， ，其中 ，试求 .xP)(2xP2x)(21xXP解: )(2XX)(1.)15. 一只口袋中有 5 个球，编号分别为 1，2，3，4，5.从中任意取 3 个，以 表示取出的 3 个球中的最大号码.(1)求 的分布列；(2)写出 的分布函数，并作图.X解：(1)根据题意 表示取出球中最大的号码，则其可能取值为 3，4，5，故 其分布列为， .3512)(CkXPpk,k即 3451010106(2)由分布函数的定义可知 .5,1,423,)(xxF作图略.6. 有三个盒子，第一个盒子装有 1 个白球、4 个黑球；第二

3、个盒子装有 2 个白球、3 个黑球；第三个盒子装有 3 个白球和 2 个黑球.现任取一个盒子，从中任取 3 个球,以 表示X所取到的白球数.(1)试求 的概率分布列；X(2)取到的白球数不少于 2 个的概率为多少？解：(1)根据题意 表示所取到的白球数，则其可能取值为 ，,210故 其分布列为， .353523541)( CCkPp kkkk 3,即 X061210(2)根据题意，所求概率为.3)()()( XPP7. 掷一颗骰子 4 次，求点数 6 出现的次数的概率分布.解：以 表示骰子点数出现 6 的次数，则X)61,4(B故 其分布列为， .kkkCPp41)( ,320即 X0 482

4、3.58.7.15.08.8. 一批产品共有 100 件，其中 10 件是不合格品.根据验收规则，从中任取 5 件产品进行质量检验，假如 5 件中无不合格品，则这批产品被接受，否则就要重新对这批产品逐个检验.(1)试求 5 件中不合格品数 的分布列；(2)需要对这批产品进行逐个检验的概率为多少？解：(1)以 表示件产品中的不合格品数，则其可能取值为 0，1，2，4，5.X故 其分布列为， .5109)(CkPpkk 5,3,(2)根据题意，所求概率为.41620)()(PX9. 设某人射击命中率为 0.8，现向一目标射击 20 次，试写出目标被击中次数 的分布X列.解：以 表示目标被击中的次数

5、，则X)8.,2(B故 其分布列为， .kkkCPp020).8()( 20,110. 某车间有 5 台车床，每台车床使用电力是间歇的，平均每小时有 10 分钟使用电力.假定每台车床的工作是相互独立的，试求(1)同一时刻至少有 3 台车床用电的概率；(2)同一时刻至多有 3 台车床用电的概率.解： 以 表示同一时刻用电车床的台数，则X)61,5(BX故 其分布列为，kkkCPp5561)( .,20(1)根据题意所求概率为；35.)()4()3(XPX(2)根据题意所求概率为.967011)( 11. 某优秀的射击手命中 10 环的概率为 0.7，命中 9 环的概率为 0.3.试求该射手三次射

6、击所得的环数不少于 29 环的概率？解：以 表示射击手命中环 10 的次数，则X)7.0,3(B故 其分布列为， .kkkCPp3).(70)( 21根据题意所求概率为.7840)()212 XPX12. 设随机变量 和 均服从二项分布，即 ， .若XY,pB,pY，试求 ?98)1(P)(解：根据题意随机变量 ，则,pB， .kkC22)1(,10又因为 ，则)(.3298)(1 202 ppCXPX则 .)32,4(BY故 .8131)0(1)(1404YP13. 已知一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为 4 的泊松分布，求：(1)每分钟恰有 8 次呼唤的概率；(2)每分钟呼唤次数大于

7、8 的概率.解：以 表示交换台每分钟的呼唤次数，则X)4(PX故 其分布列为，!)(ekPpk .,210(1)根据题意所求概率为；98.!84)(8X(2)根据题意所求概率为.0217.11P14. 某公司生产的一种产品，根据历史生产记录可知，该产品的次品率为 0.01，问该种产品 300 件中次品数大于 5 的概率为多少？解：以 表示 300 件产品中的次品数，则X).,3(BX用参数为 的泊松分布作近似计算，得所求概率为30.np.083916.!1)(1)( 503keP15. 保险公司在一天内承保了 5000 份同年龄段，为期一年的寿险保单，在合同有效期内若投保人死亡，则公司需赔付

8、3 万元.设在一年内，该年龄段的死亡率为 0.0015，且各投保人是否死亡相互独立.求该公司对于这批投保人的赔付总额不超过 30 万元的概率.解：以 表示该年龄段投保人在一年内的死亡人数，则X )015,(BX用参数为 的泊松分布作近似计算，得所求概率为5.701.5np.862!.7)980()()( 105.05 kkk eCP16. 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设一辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为 0.0001.在某天的该段时间内有 1000 辆汽车通过,问出事故的车辆数不小于 2 的概率是多少？解：以 表示该汽车站每天出事故的车辆数，则X )01.,(BX用参数为 的泊

9、松分布作近似计算，得所求概率为1.0.10np.!.)2()2( 201.0keXP17. 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为 ，则失败的概率为 ppq1.)10(p(1)将试验进行到第一次成功为止，求所需试验次数 的分布列.X(2)将试验进行到第 次成功为止，求所需试验次数 的分布列.（此分布被称为负二项分rY布）解：(1)根据题意，以 表示试验第一次成功为止所需试验次数，则 服从参数为 的X p几何分布，其分布列为，1)()(kk pPp )10(,2,p(2)根据题意，以 表示试验第 次成功为止所需试验次数，则 的可能取值为YrY， （即在 次伯努利试验中，最后已此一定是成功，而前

10、面 次中 ,1mr 1k一定有 次是成功的，由二项分布得其概率为 ，再乘以最后一次成功 rkrkC)(1的概率 ） ，则其分布列为p， .rkrkk pCXP)1()( )0,p18.一篮球运动员的投篮命中率为 0.45，求他首次投中时累计已投篮次数 的分布列，X并计算 为偶数的概率.解：根据题意，以 表示篮球运动员首次投篮命中的投篮次数，则其分布列为X，1)45.0(.)(kkPp ,2故 篮球运动员首次投篮命中的投篮次数为偶数次的情况是互不相容的，即所求概率为.35480.2111kkk19. 设随机变量 的概率密度为X.,0,2,)(其 它 xxf试求 .)51(P解：由概率密度函数的定

11、义可知.8750)2()().( 5.1105.1 dxxdfX20. 设随机变量 的概率密度为 .2,0,cos)(xAf试求：(1)常数 ;A(2) 落在区间 内的概率.X)4,0(解：(1)由概率密度函数的正则性可知 ；21cos)(12 AxdAdxf(2)根据题意，所求概率为.4cos)()40( 400xdfXP21. 设随机变量 的分布函数为 .1,)(2xAxF试求：(1)常数 ；A(2) 落在区间 内的概率；X)7.0,3(3) 的概率密度.解：(1)由分布函数的连续性可知；1)1(lim)(li)1(211 AFAxFx(2)根据题意，所求概率为；4.037.0.3.0XP

12、(3)由分布函数和密度函数的关系可知.,2)(其 它xxf22. 某加油站每周补给一次油，如果这个加油站每周的销售量（单位：千升）为一随机变量，其概率密度为 .,0,10,15.)(4其 它 xxf试问该加油站的储油罐需要多大，才能把一周内断油的概率控制在 5%以下？解：设该油站的储油罐容量为 升 ，以 表示该加油站每周油品销售量，则根a)(X据题意05.1105.05.)( 10 adxdxfaXPaa.46523. 在区间 上任意投掷一个质点，以 表示这个质点的坐标.设该质点落在区间, X中任意小区间的概率与这个小区间的长度成正，试求 的分布函数和概率密度.,0解：设 的分布函数为 ，则)

13、(xF当 时，因为 是不可能事件，所以 ；xX0)()xPxF当 时，因为 是必然事件，所以 ；a 1(当 时，有 ，其中 为比例系数，由分0 kXP0)()布函数的右连续性可知， axaax)lim1则 的分布函数为X.,1,0,)(axF由分布函数和密度函数的关系可得其概率密度函数为 .,0,)(其 它f24. 设随机变量 服从区间 上的均匀分布，求对 进行 4 次独立观测中，至少有X1, X3 次的观测值大于 5 的概率？解：根据题意，随机变量 ，则其概率密度函数为)(U.,0,10其 它 xxf故 对 进行独立观测中观测值大于 5 的概率为X105.)()( dxfXPp以 表示对 进

14、行独立观测中观测值大于 5 的次数，则Y ),4(pBY故 所求概率为. 31250.).()4()3()( 13 C25. 设随机变量 ，求方程 无实根的概率和有实根的概5,0UK22Kx率.解：根据题意，随机变量 ，则其密度函数为(,).,0,51)(其 它 xxf根据韦达定理可得， 当 时，方程无实根，其概率为2032162KK；1216.)()( dxxfXP当 或 时，方程有实根，其概率为2.40)XP26. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 （以分计）服从指数分布，其概率密度为.,0,2.)(.xexf某顾客在窗口等待服务，若超过 10 分钟他便离开，他每月要到银行 5 次，以

15、表示他未等Y到服务而离开窗口的次数，试求他至少有一次没有等到服务而离开的概率.解：根据题意，顾客在银行窗口等待服务的时间 服从指数分布，则等候时间超过 10X分钟的概率为1022.10)()( edxdxfXPp以 表示他未等到服务而离开窗口的次数，则Y ),5(BY故 所求概率为。5167.0)1()()(1)( 202 CXP27. 某仪器装了 3 个独立工作的同型号电子元件，其寿命 （以小时计）都服从同一指X数分布 0,601)(xexf试求：此仪器在最初使用的 300 小时内，至少有一个该种电子元件损坏的概率.解：根据题意，以 表示该型号电子元件的寿命，则该型号电子元件寿命小于 300

16、 小时X的概率为 302160130)()( edxedxfPp以 表示该型号电子元件损坏数，则Y ),(5.BY故 所求概率为.310)(1()1)(1)( 5.0.03 CXPX28. 设随机变量 ，求2,3N(1) ；5P(2) ；)(3) 确定 ，使得 ？a)()(a解：由正态分布标准化 可得23XU(1) )1(51)53( UPPXP；85.0)1()(2) )12(312)1( UPUPX；359.0)()(3)根据题意 ，则aX 23122323 aPaa1 )5.0(故 。3a29. 设随机变量 ，求)3,4(2NX(1) )52(P(2) (3)设 为参数，使得 ，问 最多

17、取为多少？a9.0)(aP解：由正态分布标准化 可得34XU(1) 31252)52( UPXP；605.)(1)(1(2) 31743)()3( P；692.0)(7(3)根据题意 ，则9.0)(aXP1.034.34134 aUaU即 ( ， ).897.0)2.95.)2.1(故 由标准正态分位数定义可得 4.05.34aa即 参数 最大取为 0.145.a30. 测量到某一目标的距离时，发生的随机误差 (以 m 计)具有概率密度X，320)(41)(xexfx试求在三次测量中，至少有一次误差的绝对值不超过 30m 的概率.解：根据题意，以 表示测量中随机产生的误差，由其密度函数的定义可

18、知X，则误差绝对值超过 30m 的概率为)40,2(NX )30(1)30(13XPPP)25.1(4242 UU,4931)5.).()5.( 以 表示测量中误差绝对值超过 30m 的次数，则Y ,3BY故 所有概率为.8690)5.()4931.0(1)0(1)(1)( 33 CXPXP31. 某单位招聘员工，共有 10000 人报考.假设考试成绩服从正态分布，且已知 90 分以上有 359 人，60 分以下有 1151 人，现按考试成绩从高分到低分一次录用 2500 人，试问被录用者中最低分数是多少？解：根据题意，以 表示报考人的成绩分数，则 ),(2N故 901)90(1)90( UP

19、XP35.（查表得）8.190641.5.00)6( UPX （查表得）2.1由、可得 ， ，即 ，70)1,7(2NX设录用者中最低分数为 ，则a，5.1)( aPXP1020225.0U，( ， )7.1a7486.).751.0).(故 5.6.0a32. 已知离散型随机变量 的分布列为X21013p550试求 与 的分布列 .2XYZ解：根据题意可得 21013249Zp5650故 合并整理得 的分布列2XY01493731的分布列ZZ2p5105033. 设随机变量 的概率密度为X.,0,0),5.cos(.)(其 它 xxf对 独立重复观察 4 次， 表示观察值大于 的次数，求 分

20、布列.XY312YZ解：根据题意，由概率密度函数定义可知，对 进行独立观测中观测值大于 的概率X3为.33 50).cos(5.0)()( dxdxfXPp以 表示对 进行 4 次独立观测中观测值大于 的次数，则Y ),4(BY故 其分布列为， .kkkC44).1()5.0)( ,21即 3412YZ 57p0625.7.02.06.故 13.5.5.34. 设随机变量 ，试求以下随机变量函数的概率密度：),0(UX(1) ； (2) ；Y1XeY(3) ； (4) .ln2ln解：根据题意，随机变量 ，则其密度函数为)1,(.,0,其 它 xxfX(1)由 ，且有 ，则 的密度函数为yhxy)(1 01)(hXY1., ,1其 它 yyffXY.,0,其 它(2)由 ，且有 ，则 的密度函数为yhxeyxln)(0 01)(yhXeY.,0,ln,l其 它ffXY.,1其 它 ey(3)由 ，且有 ，则 的密yhxy5.0)(0ln2 05.)(.yehXeY度函数为., ,10,. 其 它 yyyXYeff