1、最优控制问题的描述学号引言引言 理论形成阶段：自 动控制联合会 (IFAC)第一届世界大会于 1960年召开 ,卡尔曼（Kalman）、贝尔曼（ R.Bellman）和庞特里亚金（ Pontryagin）分别在会上作了 “控制系统的一般理论 ”、 “动态规划 ”和 “最优控制理论 ”的报告 ,宣告了最优控制理论的诞生 ,人们也称这三个工作是现代控制理论的三个里程碑。 1953 1957年， 贝尔曼 (R.E.Bellman)创立 “动态规划 ”原理 。为了解决多阶段决策过程逐步创立的，依据最优化原理，用一组基本的递推关系式使过程连续地最优转移。 “动态规划 ”对于研究最优控制理论的重要性，表现
2、于可得出离散时间系统的理论结果和迭代算法。 1956 1958年 ， 庞特 里亚金创立 “极小值原理 ”。它是最优控制理论的主要组成部分和该理论发展史上的一个里程碑。对于 “最大值原理 ”，由于放宽了有关条件的使得许多古典变分法和动态规划方法无法解决的工程技术问题得到解决，所以它是 解决最优控制问题的一种最普遍的有效的方法 。同 时，庞特里亚金在 最优过程的数学理论 著作中已经把最优控制理论初步形成了一个完整的体 系。 此 外，构成最优控制理论及现代最优化技术理论基础的代表性工作， 还 有不等式约束条件下的非线性最优必要条件 (库恩 图克定理 )以及卡尔曼的关于随机控制系统最优滤波器等。简述
3、控控 制系统的分析制系统的分析 (System Analysis)和综合设计和综合设计(System Synthesis)是系统研究的两大课题。是系统研究的两大课题。 系统的分析是在建立控制系统的数学模型的基础上，系统的分析是在建立控制系统的数学模型的基础上，分析系统的各种性能，如系统稳定性、能观性、能控分析系统的各种性能，如系统稳定性、能观性、能控性等，这在前面的章节已经做过介绍。性等，这在前面的章节已经做过介绍。 系统综合或系统设计的任务是设计系统控制器，以改系统综合或系统设计的任务是设计系统控制器，以改善原系统的性能，达到系统要求的各种性能指标。善原系统的性能，达到系统要求的各种性能指标
4、。 系统综合可分为常规综合系统综合可分为常规综合 (Conventional Synthesis )和最优综合和最优综合 (Optimal Synthesis)。 常规综合只满足系统的某些笼统的指标要求，如稳定常规综合只满足系统的某些笼统的指标要求，如稳定性、快速性及稳态误差。性、快速性及稳态误差。 最优综合（控制）是确保系统某种指标最优的综合，最优综合（控制）是确保系统某种指标最优的综合，如最短时间、最低能耗等。如最短时间、最低能耗等。 最优控制理论最优控制理论 (The Optimal Control Theory)是现代控制是现代控制理论中的重要内容，近几十年的研究与应用使最优控制理论理
5、论中的重要内容，近几十年的研究与应用使最优控制理论成为现代控制论中的一大分支。成为现代控制论中的一大分支。 由于计算机的发展已使过去认为不能实现的计算成为很容易由于计算机的发展已使过去认为不能实现的计算成为很容易的事，所以最优控制的思想和方法已在工程技术实践中得到的事，所以最优控制的思想和方法已在工程技术实践中得到越来越广泛的应用。越来越广泛的应用。 应用最优控制理论和方法可以在严密的数学基础上找出满足应用最优控制理论和方法可以在严密的数学基础上找出满足一定性能优化要求的系统最优控制律，这种控制律可以是时一定性能优化要求的系统最优控制律，这种控制律可以是时间间 t的显式函数，也可以是系统状态反
6、馈或系统输出反馈的的显式函数，也可以是系统状态反馈或系统输出反馈的反馈律。反馈律。 常用的最优化求解方法有变分法、最大值原理以及动态规划常用的最优化求解方法有变分法、最大值原理以及动态规划法等。法等。 控制系统的最优控制问题一般提法为：对于用动态方程描述控制系统的最优控制问题一般提法为：对于用动态方程描述的系统，在某初始和终端状态条件下，从系统所允许的某控的系统，在某初始和终端状态条件下，从系统所允许的某控制系统集合中寻找一个控制，使得给定的系统的性能目标函制系统集合中寻找一个控制，使得给定的系统的性能目标函数达到最优。数达到最优。最 优控制问题的描述1、系统的状态方程。对连续系统，其状态方程
7、为：对离散系统，其状态方程为：X(k+1)=f( X(k), u(k), k )系统状态方程给出了系统内部状态随系统控制输入的变化关系，或者说是内部状态的一种约束关系，或者说是系统状态在整个控制过程的转移约束关系。 始 端和终端条件给出了系统状态在系统控制开始和结束时刻的约束条件。 端点条件一般有三种类型：固定端、自由端和可变端。 固定端 就是时间和状态值都是固定的端点。例如初始时间 t0及其初始状态 X(t0)都固定就称 始端固定条件 ，而终端时间 t1及其终端状态X(t1)都 固定就称 终端固定条件 。一般来说，两端固定是最简单的情况。 自由端 是指端点时间固定，但端点状态值不受任何限制的
8、端点。有始端自由 和 终端自由 两种。 可变端 就是端点时间及其状态值都可变的端点。但一般它满足一定条件，如满足 C(t1)=0，或 NX(t1), t1=0。3、系统、系统 控制域控制域 。 在实际控制系统中，控制输入 u(t)往往是受限制地任意取值的，例如作为作为汽车控制的发动机，其输出功率就有最大功率的限制。所以在许多最优控制问题中，需要规定一个允许的控制域，即控制允许取值的范围，在此范围取值的控制称为 允许控制允许控制 。2、系统状态的始端和终端条件。 如果系统目标泛函只取式中的第一项，即：或 则称为 终端型终端型 或 迈耶（迈耶（ Mayer）型）型 。 如果系统目标泛函只取式中的第
9、二部分，即：或 则称为 积分型积分型 或 拉格朗日拉格朗日 (Lagrange)型型 。 最优控制问题最优控制问题 就是在满足上述 1、 2、 3点的条件下，找到一个控制 u(t)， 使得系统目标泛函 J达到最大或最小。这样的控制 u(t)就称 系统的最优控制系统的最优控制 u*(t)，将u*(t)代入系统状态方程就可解得系统的状态轨迹 X(t)，称之为 最优状态轨迹最优状态轨迹X*(t)。 一个最优控制问题的复杂程度，或者说其求解和实现的难易程度是由上述四方面的具体规定，特别是系统的性能指标的具体形式来决定的。一般来说，两端固定的线性系统，其控制不受限制，且系统性能指标为积分型时，最优控制问题是比较简单的。系统最优控制 引例王范学号 1350410038引 例条件：条件： 一船要从时间 t0到 t1，由 A地开往 B地。速度向量为：其中： 为 位置向量；u(t)为控制函数。船在航行时，单位时间的损耗（性能指标）为： w=F(X， u， t) 与 X、 u、 t有关！控制函数既改变速度，也改变损耗。问题：问题： 求最优控制函数 u*(t)，或最优状态轨迹（航道） X*(t)，使船 由 A地开往 B地时损耗最小。x2x10AB
