1、EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy2.1 线性定常齐次状态方程的解 (自由解 )2.2 矩阵指数函数 状态转移矩阵2.3 线性定常系统非齐次方程的解2.4 * 线性时变系统的解2.5 * 离散时间系统状态方程的解2.6* 连续时间状态空间表达式的离散化第二章 控制系统状态空间表达式的解EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy2.1 线性定常齐次状态方程的解 (自由解 )所谓系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。此时，状态方程为齐次微分方程：(1)若初始时刻 时的状态给定为 则式 (1)有唯一确定解：(2)若初始
2、时刻从 开始，即 则其解为：(3)证明： 和标量微分方程求解类似，先假设式 (1)的解 为 的矢量幂级数形式EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy(4)代入式 (1)得：(5)既然式 (4)是式 (1)的解，则式 (5)对任意时刻 都成立，故 的同次幂项的系数应相等，有：EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy在式 (4)中，令 ，可得：将以上结果代入式 (4)，故得：(6)EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy等式右边括号内的展开式是 矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为 ， 即(7)于是式 (6)可表示为：
3、再用 代替 即在代替 的情况下，同样可以证明式 2)的正确性。EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy2.2 矩阵指数函数 状态转移矩阵2.2.1 状态转移矩阵齐次微分方程 (1)的自由解为：或该式反应了状态矢量由初始状态到任意时刻的矢量变换关系， 反应了状态矢量在空间随时间转移的规律，因此称为状态转移矩阵。EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy2.2 矩阵指数函数 状态转移矩阵注：状态矩阵一般不是常数，而是时间的函数起始矢量可以任意取，系统求解区间可任意选定 状态空间法的优点 满足初始状态 的解是：满足初始状态 的解是：令： 则有：
4、线性定常系统的状态转移矩阵EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy2.性质二或 (2)3.性质三或 (3)1性质一这就是组合性质，它意味着从 转移到 0，再从 0转移到 的组合。或 (1)2.2.2 状态转移矩阵 (矩阵指数函数 )的基本性质注：本性质可用于判断矩阵是否符合状态转移矩阵的条件EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy或 (4)这个性质说明， 矩阵与 A矩阵是可以交换的。注：本性质还表明，由状态转移矩阵 可反推 A！5.性质五对于 方阵 A和 B，当且仅当 AB=BA时，有 而当 ABBA 是，则 这个性质说明，除非距阵 A与 B是可交换的，它们各目的矩阵指数函数之积与其和的矩阵指数函数不等价。这与标量指数函数的性质是不同的。4.性质四EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy1若 A 为对角线矩阵，即(5)则(6)2.若 A 能够通过非奇异变换予以对角线化，即2.2.3 几个特殊的矩阵指数函数
