1、第三章 线性系统的能控性和能观性3.7 实现问题q 由于状态空间分析方法是现代控制理论的基础 ,因此 ,如何建立状态空间模型这一现代控制理论中的主要数学模型是进行系统分析和综合时首先要解决的问题。 在第 2章中已讨论了如何将传统的控制领域所应用的数学模型 ,如高阶微分方程和传递函数等 ,变换成状态空间模型。 由系统的传递函数建立状态空间模型这类问题称为系统实现问题 ,而求得的状态空间模型称为相应的传递函数的一个实现。3.7.1 定义和基本特性q 下面先讨论系统实现的定义。q 定义 对给定的真有理实矩阵函数 G(s),如果能找到相应的线性定常连续系统的如下状态空间模型 :并满足G(s)=C(sI
2、-A)-1B+D则称该状态空间模型为 G(s)的一个实现。 q 上述系统实现定义中 ,要求传递函数阵 G(s)为真有理实矩阵函数是指 , G(s)的每一个元素的分子分母都为实系数多项式且分子的阶次小于或等于分母的阶次。q 下面讨论系统实现的基本特性 :1. 对任意给定的有理实矩阵函数 G(s),只要满足物理上可实现的条件 ,即 G(s)为真有理实矩阵函数 (每个元素的分子多项式的阶次小于或等于分母多项式的阶次 ),则一定可以找到其实现 ,这就是实现的存在性问题。2. 实现的实质是寻找一个其传递函数为所给定传递函数阵G(s)的状态空间模型。 从系统传递函数阵出发 ,由于状态变量选择的非唯一性 ,
3、一般可以构造出无数个状态空间实现。 因此 ,实现具有非唯一性。3. 在 G(s)的实现 (A,B,C,D)中 ,矩阵 D为D=Lims G(s)因此 ,当 G(s)为严格真的有理实矩阵函数 ,即 其每个元素的分子多项式的阶次比分母多项式的低时 ,则 D=0,而相应的实现为 (A,B,C)。3.7.2 能控规范形实现和能观规范形实现q 能控规范形实现和能观规范形实现是指由传递函数阵 G(s)建立的状态空间实现分别为能控规范形和能观规范形。 以下讨论 SISO系统的能控规范形 和 能观规范形实现 ,其中 ai和 bi(i=1,2, n)为实系数 ,则其 能控规范 I 形实现的各矩阵分别为1. SISO系统的能控规范形实现q 若系统的传递函数 G(s)为q 例 求如下 SISO系统的能控规范形实现 :q 解 对非严格真的传递函数 进行长除法运算有 上式的常数部分的实现为直联矩阵 D,严格真传递函数部分的实现为 (A,B,C)。 因此其能控规范 I形实现为2. SISO系统的能观规范形实现q 若系统的传递函数 G(s)为严格真的有理实矩阵函数 ,则其能观规范 II形实现的各矩阵分别为
