1、4.2 李雅普诺夫第一法4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义4.3 李雅普诺夫第二法4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy系统稳定性的定义与李雅普诺夫方法控制系统本身处于平衡状态。受到扰动，产生偏差。扰动消失后，偏差逐渐变小，能恢复到原来的平衡状态，则 稳定 。偏差逐渐变大，不能恢复到原来的平衡状态，则 不稳定 。李雅普诺夫第一法：求解微分方程，根据解的方法判断稳定性李雅普诺夫第二法：构造李雅普诺夫标量函数判定稳定性，在最优控制、滤波、自适应控制等方面有广泛应用。EAST CHINA
2、INSTITUTE OF TECHNOLOgy4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义4.1.1 系统状态的运动及平衡状态设所研究系统的齐次状态方程为（ 1）式中， 为 维状态矢量； 为与 同维的矢量函数，它是 x的各元素 和时间 的函数。一般地，为时变的非线性函数。如果不显含 ，则为定常的非线性系统。设方程式 (1)在给定初始条件 下，有唯一解：（ 2）式中， 为表示 在初始时刻 时的状态； 是从EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy开始观察的时间变量。式 (2)实际上描述了系统式 (1)在 n 维状态空间中从初始条件 出发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或 状态
3、轨线 。若系统式 (1)存在状态矢量 ，对所有 ，都使：成立，则称 为系统的 平衡状态 。（ 3）对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯一的，例如对线性定常系统：当 A为非奇异矩阵时，满足 的解 是系统唯一存在的一个平衡状态。而当 A为奇异矩阵时，则系统将有无穷多个平衡状态。（ 4）EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。它们是由方程式 (3)所确定的常值解例加系系统：就有三个平衡状态：稳定性都是相由于平衡点而言，任意一个已知的平衡状态，都可以通过坐标变换将其 移到坐标原点 处。所以今后将只讨论系统在
4、坐标原点处的稳定性就可以了。EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy若用 表示状态矢量 与平衡状态 的距离，用点集 表示以 为中心 为半径的超球体，那么 ，则表示：（ 5）式中， 为欧几里德范数。在 n维状态空间中，有：（ 6）当 很小时，则称 为 的邻域。因此，若有 ，则意味着 同理，若方程式 (1)的解 位于球域 内，便有：4.1.2 稳定性的几个定义EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy（ 7）式 (7)表明齐次方程式 (1)内初态 或短暂扰动所引起的自由响应是 有界的。 李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为四种
5、情况。1李雅普诺夫意义下稳定2渐近稳定3大范围渐近稳定4不稳定EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy设系统 对于任意选定的 ，都对应的存在另一实数 使当则称系统的平衡 状态 在 李雅普诺夫意义下稳定。 -简称为稳定如果 与初始时间无关，称为 一致稳定 。其中 与 有关，一般情况下也与 有关。1、李雅普诺夫意义下稳定时，从任意初始状态出发的解都满足EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy几何意义：初始状态 有界 ，随时间推移，状态向量距平衡点的距离可以维持在一个确定的数值内，而到达不了平衡点。任给一个 从 球域 ， 出发的 若存在一个球域 使得当 时，从 出发的轨迹不离开 ，则称系统的平衡状态是 李雅普诺夫意义下 的 稳定 。EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy设系统初始状态位于以 平衡状态 为球心， 为半径的闭球域 内，即则称系统的平衡状态 是 渐近稳定 的 。若系统方程的平衡状态 不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且有2、渐近稳定
