1、统计学院 概率论与数理统计 补充题第单元补充题及参考答案 第 1 页 共 11 页 2013-月概率论与数理统计第二单元补充题一、 填空题： 1、函数 ()fx为连续型随机变量 X的概率密度函数的充要条件是2） ， ）2、随机变量 X的分布律为 5103P，则 2的分布律为 _,2X+1的分布律为_3、设离散型随机变量 的分布律为 ,1,2kX，则随机变量XY2sin的分布律为4、设离散型随机变量 X的分布律为 k=1, 2, 3,，则 c= .5、设随机变量 X的概率密度函数为，则 P(0X3/4)= .6、随机变量 )31,0(b，则 0PX， 1PX7、随机变量 的分布律为 1,2345
2、)5ak， （ ，则 a， (2.)F8、随机变量 X服从 (0,)b上的均匀分布，且 3PX，则 b9、已知随机变量 服从参数为 2的泊松分布，则 1，1P二、选择题： 1、下列命题正确的是 。（ A ）连续型随机变量的密度函数是连续函数 （ B ）连续型随机变量的密度函数 ()0()1fxfx满 足 （ C ）连续型随机变量的分布函数是连续函数 （ D ）两个概率密度函数的乘积仍是密度函数统计学院 概率论与数理统计 补充题第单元补充题及参考答案 第 2 页 共 11 页 2013-月2、设 )(1xF与 2分别为随机变量 1X与 2的分布函数，则为使()ab是某随机变量的分布函数，下列结果
3、正确的是_（ A ） 3,5 （ B ） 2,3ab( C ） 1,2 （ D ） 1,三、计算题 1、已知随机变量 只能取-1,0,1,2 四个值, 相应概率依次为 cc167,8543,2, 确定常数 c并计算 P1|0.2、已知 其 它012)(xx, 求 P0.5; P(=0.5);F(x).3、设连续型随机变量 的分布函数为: 10)(2xAxF求：（1） 、系数 A; （2） 、 P(0.3 0.7);（3） 、 概率密度 (x).4、设随机变量 X的密度函数 中012)(xf用 Y表示对 X的三次独立重复观察中事件 21出现的次数，求（1） PY=2；（2） PY1.5、已知离散
4、型随机变量 的概率分布为 ,21,3nX，求随机变量XY)(1的分布律和分布函数 .6、 （1） 、已知随机变量 X的概率密度函数为 (),2xXfe，求 X的分布函数。（2） 、已知随机变量 X的分布函数为 (),Fx另有随机变量1,0,Y。试求 Y的分布律和分布函数。7、甲、乙二人轮流投篮，每人一次，甲先开始，直到有一人投中为止，假定各人投中与否互不影响，已知二人投篮的命中率分别为 0.7和 0.8。记 Y表示二人投篮的总次数。（1）求 Y的分布律；（2）问谁先投中的可能性大？8、假设随机变量 X的绝对值不大于 1， 81XP； 41XP；在事件“|X|1”发生的条件下， X在（-1，1）
5、内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长统计学院 概率论与数理统计 补充题第单元补充题及参考答案 第 3 页 共 11 页 2013-月度成正比，求 X的分布函数.9.一个人在一年中患感冒的次数 X服从参数为 4的 Poisson分布现有一种预防感冒的新药，它对于 22%的人来讲，可将上面的参数 降为 1（称为疗效显著） ；对 37%的人来讲，可将上面的参数 降为 3（称为疗效一般） ；而对于其余的人来讲则是无效的现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了 2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？四、问答题 1、随机变量与普通函数有何不同？引入随机变量有何意义？2、随机变量的分布函数有什
6、么意义？3、连续型随机变量的 dxf)(与离散型随机变量的 kp在概率中的意义是否相同？4、为什么 0aXP不能说明 X=a是不可能事件？5、不同的随机变量，它们的分布函数是否一定不同？统计学院 概率论与数理统计 补充题第单元补充题及参考答案 第 4 页 共 11 页 2013-月概率论与数理统计第二单元补充题参考答案一、填空题： 1、函数 ()fx为连续型随机变量 X的概率密度函数的充要条件是（1） （2）,0.1)(dxf2、随机变量 X的分布律为 5032P，则 2的分布律为 510324PX,2X+1的分布律为 123、设离散型随机变量 X的分布律为 ,21,kXP，则随机变量Y2si
7、n的分布律为 158320pY4、设离散型随机变量 X的分布律为 k=1, 2, 3,，则 c= 0.5 .5、设随机变量 X的概率密度函数为，则 P(0X3/4)= 1/2 6、随机变量 )31,0(b，则 ，1032)(XP.321)(0XP7、随机变量 的分布律为 ,455ak， （ ，则 ，1a2).(F8、随机变量 X服从 (0,)b上的均匀分布，且 13PX，则 236b或9、已知随机变量 服从参数为 2的泊松分布，则 ，,e2)(-,e3)1(-P二、选择题： 1、下列命题正确的是 C 。（ A ）连续型随机变量的密度函数是连续函数 统计学院 概率论与数理统计 补充题第单元补充题
8、及参考答案 第 5 页 共 11 页 2013-月（ B ）连续型随机变量的密度函数 ()0()1fxfx满 足 （ C ）连续型随机变量的分布函数是连续函数 （ D ）两个概率密度函数的乘积仍是密度函数2、设 )(1xF与 2分别为随机变量 1X与 2的分布函数，则为使()ab是某随机变量的分布函数，下列结果正确的是_A_（ A ） 3,5 （ B ） 2,3ab( C ） 1,2 （ D ） 1,二、 计算题 1、已知随机变量 只能取-1,0,1,2 四个值, 相应概率依次为 cc167,8543,2, 确定常数 c并计算 P1|0.解: 根据概率函数的性质有 12101PP即 67854
9、32cc得 2.315671021设事件 A 为 1, B 为 0, (注: 如果熟练也可以不这样设 )则 32.05816721)0)0|1 PP.2、已知 其 它02)(xx, 求 P0.5; P(=0.5);F(x).解: 25.0.25. 25.025.0, | xddP；因 为连续型随机变量, 因此取任何点的概率均为零, 所以 P=0.5=0；统计学院 概率论与数理统计 补充题第单元补充题及参考答案 第 6 页 共 11 页 2013-月现在求 F(x): 当 x0 时, F(x)=0当 0 x1 时, 200|2) xtdtdtx当 x1 时, F(x)=1综上所述, 最后得:10
10、)(2x3、设连续型随机变量 的分布函数为: 10)(2xAxF求：（1） 、系数 A; （2） 、 P(0.3 0.7);（3） 、 概率密度 (x).解: （1 ）因 是连续型随机变量, 因此 F(x)必是连续曲线, 则)0()(F因此 A12=1, 即 A=1. （2）则分布函数为 10)(2xFP(0.30.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.49-0.09=0.4（3）概率密度 (x)为其 它012)(x4、设随机变量 X的密度函数 中012)(xxf用 Y表示对 X的三次独立重复观察中事件 21出现的次数，求（1） PY=2；（2） PY1解：首先可计算得到
11、431|122xd 由题意知 Y b（3 ， 4）统计学院 概率论与数理统计 补充题第单元补充题及参考答案 第 7 页 共 11 页 2013-月所以（1） 6427132CYP （2） 643101035、已知离散型随机变量 X的概率分布为 ,2,3nXP，求随机变量XY)1(的分布律和分布函数解：由于 4913232120 001kkkP412Y因此，Y 的分布律为：430kp，易计算，它的分布函数为 21043)(yyFY。6、 （1） 、已知随机变量 X的概率密度函数为 1(),2xXfe，求 X的分布函数。（2） 、已知随机变量 X的分布函数为 (),Fx另有随机变量1,0,Y。试求
12、 Y的分布律和分布函数。解： （1）由于1,0,2(),.xXef所以 10()()2xxxXXxFfde当 时 ， 0012xxxxf de当 时 ，统计学院 概率论与数理统计 补充题第单元补充题及参考答案 第 8 页 共 11 页 2013-月所以1,0,2(),.xXeF（2）易知 11(1)(0)(,()(0)(),22X XPYFPYF于是 Y 的分布律为-1 12分布函数为0,1(),YyFy7、甲、乙二人轮流投篮，每人一次，甲先开始，直到有一人投中为止，假定各人投中与否互不影响，已知二人投篮的命中率分别为 0.7和 0.8。记 Y表示二人投篮的总次数。（1）求 Y的分布律；（2）
13、问谁先投中的可能性大？解：易知 PY=1=0.7 PY=2=0.30.8 PY=3=0.30.20.7PY=4=0.320.20.8所以：（1）分布律： ,.217.023.1281kkk（2） 74.06.).(11 kkkYPP中 2530.4)8.203.(211kk中甲先投中的可能性大8、假设随机变量 X的绝对值不大于 1， 81XP； 41XP；在事件“|X|1”发生的条件下， X在（-1，1）内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，求 X的分布函数解：当 0)(xFx当 81当 )(xx统计学院 概率论与数理统计 补充题第单元补充题及参考答案 第 9 页 共 11 页
14、2013-月由于当 时， 有 )1(1|xkXxP1x即当 2)(k11|1 xXPxX 6)(5482P 171)( xxxxF， 31 kppkXkk9.一个人在一年中患感冒的次数 X服从参数为 4的 Poisson分布现有一种预防感冒的新药，它对于 22%的人来讲，可将上面的参数 降为 （称为疗效显著） ；对 37%的人来讲，可将上面的参数 降为 3（称为疗效一般） ；而对于其余的人来讲则是无效的现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了 2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？解：设 此 药 疗 效 显 著1A， 此 药 疗 效 一 般2A， 此 药 无 效3A，次 感 冒某 人
15、一 年 中 患B，则3111kkABPP206.41.0237.02.0212 eee四、问答题 1、随机变量与普通函数有何不同？引入随机变量有何意义？答：随机变量是在随机试验的样本空间 S 上，对每一个 ，给予一个实Se数 X（ e）与之对应而得到的一个实值单值函数。从定义可以认识到：普通函数的取值是按一定法则给定的，而随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；又普通函数的定义域是一个区间，而随机变量的定义域是样本空间。这两点是二者的主要区别。引入随机变量是研究随机现象统计规律性的需要。为了便于数学推理和计统计学院 概率论与数理统计 补充题第单元补充题及参考答案 第 10 页 共 11
16、 页 2013-月算，有必要将随机试验的结果数量化，使得可以用高等数学课程中的理论与方法来研究随机试验，研究和分析其结果的规律性，因此，随机变量是研究随机试验的重要而有效的工具。2、随机变量的分布函数有什么意义？答：分布函数 给出了随机变量 X 的取值不大于实数 x 的概)(xXPxF率，而 X 在任意区间 上的概率也可用分布函数表出，即21。因此分布函数完整地描述了随机变量的统计规)(221 xxP律性。另一方面，分布函数是一个普通函数，因此可以用高等数学课程中的理论和方法加以研究和分析，认识问题。概率论与数理统计就是通过随机变量和分布函数两个工具来全面研究认识随机现象的统计规律性的。3、连
17、续型随机变量的 dxf)(与离散型随机变量的 kp在概率中的意义是否相同？答：相同。在离散型随机变量 X 中，随机变量 X 的取值点是离散的点，是 X 取某一 时的概率。而在连续型随机变量 X 时， X 取某一 x 时的概率kpkx为零；在小区间 上的概率为 ，由定积分中值定理有,ddxtfP)(。当对连续型随机变量离散化时， 与 的意义是相同的，dxfP)( kp同样描述了随机变量的分布情况。4、为什么 0aX不能说明 X=a是不可能事件？答：因为，若 ，则有两种可能。对离散型随机变量，P时， X=a 必然是不可能事件，但是，对连续型随机变量，任一点0aP上的概率都等于零，这由 ，当 时， 可dxfxx)( 0P以得知，所以 不能说明 X=a 是不可能事件05、不同的随机变量，它们的分布函数是否一定不同？
