1、概率论与数理统计课程第一章练习题及解答一、判断题（在每题后的括号中 对的打“”错的打“” ） 1、若 ，则 与任一事件 一定独立。 （）1()PAB2、概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。 （）3、样本空间是随机现象的数学模型。 （）4、试验中每个基本事件发生的可能性相同的试验称为等可能概型。 （）5、试验的样本空间只包含有限个元素的试验称为古典概型。 （）6、实际推断原理就是“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的” 。（）7、若 为试验 的样本空间， 为 的一组两两互不相容的事件，则SE12,nB E称 为样本空间 的一个划分。 （）12,nB S8、若事
2、件 的发生对事件 的发生的概率没有影响，即 ，称事A ()(PBA件 、 独立。 （）9、若事件 相互独立，则其中任意 个事件也是相12,()nB (2)kn互独立的。 （）10、若事件 相互独立，则将 中任意多个事件换成12,()n 12,nB它们的对立事件，所得的 个事件仍相互独立。 （）二、单选题1设事件 A 和 B 相互独立，则 （ C ）()PABA、 B、 C、 D 、()P)1()PAB2、设事件 A 与 B 相互独立，且 ，则正确的是（ A 0(),0()P）A、 与 一定不独立 B、 与 一定不独立AC、 与 一定独立 D、 与 一定独立3、设当事件 A 与 B 同时发生时，
3、事件 C 必发生，则（ B ）A、 B、1()()PC1()()PAC、 D、4、在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 ，电炉就断电，以 E 表示事件“电炉断电” ，而0t为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E 等于（ (1)(2)(3)()TT）A、 B、 C、 D、(1)0t(2)0t(3)0Tt(4)0Tt分析 事件 表示至少有一个温控器显示的温度不低于临界温度 ；事件(4)T表示至少有两个温控器显示的温度不低于临界温度 ，即 ，选(3)0Tt 0t(3)0EtC。5、对于任意二事件 A 和 B，
4、与 不等价的是（ ）A、 B、 C、 D、ABAB分析 ，而 ，因不一定成立，选 D。,B6、对于任意二事件 A 和 B，A、若 ，则 A，B 一定独立 B、若 ，则 A，B 有可能独立C、若 ，则 A，B 一定独立 D、若 ，则 A，B 一定不独立分析 若 中至少有一个等于 0 时，则 A 不成立；若 均大于 0 时，(),P (),P则 C 不成立；若 ，但 ，且 时，则 A 与 B 独立，D 不()P()B成立，因此应选 B。即当 时，如果 ，则 A 与 B 独立，A()否则 A 与 B 不独立。7、对于事件 A 和 B，满足 的充分条件是（ ）1P（ ）A、A 是必然事件 B、 C、
5、D、0A（ ） 分析 的充分条件是 ，即 ，显然在四个1P（ ） （ ） （ ） ()(PBA选项中，当 时， ，可得 ，因此 是ABA()(PBAB的充分条件。选 D1P（ ）8、已知 且 ，则下列选项成立的是0()1212()()()PA、 B、12BA112()()PABPAC、 D、12()()()P1)P分析 依题意 ，212()()()ABPAB1212()()()ABPAB因为 ，故有 。选 B0()1212()()()9、设 A、B 为任意两个事件，且 ，则下列选项必然成立的是,0ABPA、 B、 C、 D、()P（ ） （ ）分析 因为 ，故 ，又 ，于是有A()1B，选 B
6、()(PBPA10、设 A、B 是两个随机事件，且 ，0(),()0,()()PAPB则必有（ ）A、 B、()()PA()()ABC、 D、BP分析 应用条件概率定义从 可得 ，()()()()PA即 ，选1()()()PABABC三、填空题1、随机试验记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分） ，样本空间 S 为（ ）0,12,inn2、生产产品直到有 10 件正品为止，记录生产产品的总件数，样本空间 S 为（ ）10,3、对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品” ，不合格的记上“次品” ，如连续查出 2 个次品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结果，样本
7、空间 S 为（） 0,1,01,01,0,10,1S4、在单位圆内任意取一点，记录它的坐标，样本空间 S 为（ 取一直角坐标系，则样本空间为 ；若取极坐标系，则样本空间为 2(,)Sxy。 ）0,1),(S5、设 A，B，C 为三个事件，用 A，B，C 的运算关系表示下列事件。（1）A 发生，B 与 C 不发生， （ 或者 ） ABC（2）A 与 B 都发生，而 C 不发生， （ 或者 ） （3）A，B，C 中至少有一个发生， （ ）（4）A，B，C 都发生， （ ） AB（5）A，B，C 都不发生， （ ） （6）A，B，C 中不多于一个发生， （ 或者 或BCABCA者 ） ABC（7）A
8、，B，C 中不多于两个发生，（ 或者 ）D D7（8）A，B，C 中至少有两个发生， （ 或者CAB8） 。CAB6、设 A， B是任意两个随机事件，则 （0）()()PAB分析 ()()ABAB()()()(0PP7、一批产品共有 10 个正品 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为（ ）分析 此为一全概率问题，设事件 ，12iBi第 次 抽 出 次 品 ， ，由题有 ， ，11202PB（ ） ， （ ） 2112PBPB（ ） ， （ ）于是 21 06（ ） =（ ） （ ） +（ ） （ ）8、设 A， B两个事件满足 ，且 ，则 （ ）(
9、)()A()Ap()分析 ()(1PPBPB因为 ，故有 ，)()1()()1Ap9、设两两相互独立的三事件 A， B和 C，满足条件：，且已知 ，则 （ ,()()ABC)96()）分析 由于 A、 B、 C两两相互独立，且 ，()()PBC所以 ， ，2()()PA，( 2)()()()3()PABCBCPBACPBACPA依题意，有 ， 解方程，得 。 （ 不23(916A144合题意舍去）10、设两个相互独立的事件 A和 B 都不发生的概率为 ， A发生 B 不发生的9概率与 B发生 A不发生的概率相等，则 （ ）()P分析 依题意， ，故 ，()()P()()BP即 ，又因 A与 B
10、相互独立，故 与 亦相互独立，) A。2()(19()13,()23ABP四、计算题1、 （1）设 A，B，C 是三个事件，且(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8，求 A，B，C 至少有一个发生的概率。(2)已知 P(A)=1/2，P(B)=1/3，P(C)=1/5，P(AB)=1/10，P(AC)=1/15，P(BC)=1/20，P(ABC)=1/30,求 ， BA， C， BA， ， C的概率。（3）已知 P(A)=1/2，(i)若 A，B 互不相容，求 )(P， （ii）若 P(AB)=1/8，求 )(AP。解：（1） 5()()()()()
11、()()800058BCPBCABPCAPBCAPA由 ， 且 已 知 （ ） ， 得 （ ） （ ） ， 于 是 （ ）因 此 （ ） =（2） ；112305BPAB（ ） （ ） （ ） （ ） =；4PA（ ） （ ） 1-（ ）15123502306BCPBCABPCAPBC（ ） （ ） （ ） +（ ） （ ） -（ ） （ ） +（ ）= 960PA（ ） （ ） -（ ） =4152BSPABCPABCC因 为 （ ） （ ） （ （ ） （ ） （ ）于 是 （ ） （ ） （ ）。360PA（ ） （ ） +（ ） -（ ） =+-（3） （i）0, )12BPASPAB
12、PABB因 为 ， （ ） （ ） （ ） （ (） （ ） （ ）所 以 （ ） =（ ） （ ）（ii ）1, )81328PABPASBPAB因 为 （ ） （ ） （ ） =（ (） （ ） +（ ）所 以 （ ） （ ） （ ）2、在房间里有 10 个人，分别佩戴从 1 号到 10 号的纪念章，任选 3 人记录其纪念章的号码。求 （1）最小号码为 5 的概率； （2）最大号码为 5 的概率。解：古典概型（1）设 A=“最小号码为 5” ，则 ；25310()CPA（2）设 B=“最大号码为 5” ，则 。24310()B3、在 1 500 个产品中有 400 个次品，1 100 个正
13、品。从中任取 200 个。求（1）恰有 90 个次品的概率； （2）至少有 2 个次品的概率。解：古典概型设 A=“恰有 90 个次品” ； Bi=“恰有 i 个次品” ，i=0,1，C=“至少有 2 个次品”。（1）设 A=“恰有 90 个次品 ” ， 则 ；201594)(CAP（2）设 C=“至少有 2 个次品”，求 （ ）又设 Bi=“恰有 i 个次品” ，i=0,1，则 ，10BS于是 ，)(1)() 100PBSPC这里 ， ，20152015941(C因此 。201594)(P4、从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，问这 4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？解：古典概
14、型设 A=“所取 4 只鞋子至少有 2 只配成一双” ，则 。2137891046)(1)( SANPA另解：古典概型设 A=“所取 4 只鞋子至少有 2 只配成一双” ，A i=“所取 4 只鞋子恰能配成 i 双” ，i=1,2，则 2130)()()( 41025410852121 CNAPSA5、张卡片上分别写上 Probability 这 11 个字母，从中任意连抽 7 张，求其排列结果为 ability 的概率。解：古典概型，设 A=“排列结果为 ability”，则。67104.2)(PNAS6、 （1）已知 。求条件概率 .3BPA（ ） ， （ ） =， （ ） .5PBA（
15、）。(2)已知 ，求141213A（ ） ， （ ） ， （ ） ()解：（1）；()()()10.7,10.6,()()().2,.2.56PBPABASPB由 题 知 , 故（2） ()()()11()2(34()()6APBAPBAB因 为又 ， ，所 以 ， ，7、 （1）.设有甲、乙二袋，甲袋中装有 n 只白球 m 只红球，乙袋中装有 N 只白球 M 只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（2) 第一只盒子装有 5只红球，4 只白球；第二只盒子装有 4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取 2只球放入第二盒中去，然后从第二盒
16、子中任取一只球，求取到白球的概率。解：（1）设 A=“从甲袋取得红球 ”，B=“从乙袋取得白球 ”，则()()()()()111PBSPABPABPAmNnnNmnMmM（2）设 Ai=“从第一盒取得的球中有 i 只红球” ，i=0,1,2，B=“从第二盒取得一白球” ，则012001122()()()()()()()PBSPBPABAPBAPBA因为 ， ，62940CA18529C，18)(1)(20PP所以 。953176B8、 将两编码为 A和 B传送出去，接收站收到时，A 被误作为 B的概率是0.02，而 B被误作为 A的概率是 0.01 。信息 A与信息 B被传出的频繁程度为2:1
17、.若接收的信息是 A，问原发信息的是 A的概率是多少?解：设 D=“将信息 A 传出去” ，R=“接收到信息 A”，题目要求 ，)(RDP由题知 ， ， ，02.)(DRP01.)(RP12)(DP因为 ，所以 ， ，因此，3319760.2).01()()()( RPPR9、三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为 1/5,1/3,1/4 。问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？ 解：设 Ai=“第 i 人能译出密码” ，i=1,2,3，B=“译出密码” ，由题知 ， ， ，则51)(P31)(2A41)(3P543415 )()()()() 32132312112 AP
18、APBP10、将 A， B， C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为 ，而输出为其它一字母的概率都是(1)/2。今将字母串 AAAA， BBBB， CCCC之一输入信道，输入 AAAA， BBBB， CCCC的概率分别为 p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，已知输出为 ABCA，问输入的是 AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。 ）解：设 A1=“输入 AAAA”， B1=“输入 BBBB”， C1=“输入 CCCC”，D=“输入 ABCA”，因为 ，因此)()( 3211111 pPAPCP，)()()()() 3322111 ADPADDA由于
19、， ，2211CB所以 。1)3()(1pP五、证明题1、设 A， B是两个事件。（i）已知 ，证明 A=B；(ii)证明事件 A与事件 B恰有一个发生的概率为 P(A)+P(B)-2P(AB)。证明：（1）因为 ， ，ABS)( ABS)(所以有 ， ；（2） 显然， )()()()()( PPP2)A2、设 A， B是任意两事件，其中 A的概率不等于 0和 1，证明是事件 A与 B独立的充分必要条件。()()P证明 1：由于事件 A的概率不等于 0和 1，题中两个条件概率都存在。必要性、由事件 A与 B独立，知事件 与 B也独立，A因此 ，从而 。()(,)(PP()()PA充分性、由 ，可见()()()1PABBAP
