概率论习题解答一.docx

1、1习 题 一1下列随机试验各包含几个基本事件？（1）将有记号 的两只球随机放入编号为， 的盒子里（每个盒子可容纳两个ba,球）解：用乘法原理，三个盒子编号为，看作不动物，。两个球看作是可动物，一个一个地放入盒中； 球可放入的任一个，其放法有 种， 球也可放入三个盒子的a31Cb任一个，其放法有 种,由乘法原理知：这件事共有的方法数为 种。31C139C（2）观察三粒不同种子的发芽情况。解：用乘法原理，三粒种子，每一粒种子按发芽与否是两种不同情况（方法）。三粒种子发芽共有 种不同情况。81212（3）从五人中任选两名参加某项活动。解：从五人中任选两名参加某项活动，可不考虑任选的两人的次序，所以此

2、试验的基本事件个数 。1025Cn（4）某人参加一次考试，观察得分（按百分制定分）情况。解：此随机试验是把从 0 到 100 任一种分看作一个基本事件， 。10n（5）将 三只球装入三只盒子中，使每只盒子各装一只球。cba,解：可用乘法原理：三只盒子视为不动物，可编号，三只球可视为可动物，一个一个放入盒子内（按要求）。 球可放入三个盒子中的任一个有 种方法。 球因a31Cb为试验要求每只盒子只装一个球，所以 球放入的盒子不能再放入 球， 球只能放入其b余（无 球 的盒子）两个中任一个，其放法有 个。 只能放入剩下的空盒中，其a 21c放法只有一个。三个球任放入三个盒中保证每个盒只有一个球，完成

3、这件事共有方法为 种。6123C2 事件 A 表示 “五件产品中至少有一件废品”,事件 B 表示“五件产品都是合格品”，则 各表示什么事件？ 之间有什么关系？,BBA、2解： 设 “五件中有 件是不合格品” “五件都是合格品”。此随机试验 E 的样kAkB本空间可以写成： 而 AS,43210 01234AA， 与 是互为对立事件。,B3. 随机抽验三件产品，设 表示“三件中至少有一件是废品”，设 表示“三件中至少B有两件是废品”， 表示“三件都是正品”，问 各表示什么事件？C,C解 “三件都是正品”， “三件中至多有一件废品”，AB“三件中至少有一件废品”， .,A4. 对飞机进行两次射击，

4、每次射一弹，设 表示“第一次射击击中飞机”， 表示“第1 2A二次射击击中飞机”，试用 及它们的对立事件表示下列各事件:21,“两弹都击中飞机”； “两弹都没击中飞机” “恰有一弹击中飞机”；BCD“至少有一弹击中飞机”。并指出 中哪些是互不相容，哪些是对立的。EEB,解 ， 与 , 与 ,12121212,ADAABCD与 , 与 是互不相容的， 与 是相互对立的。DCE5 在某班任选一名学生。记 “选出的是男生”; “选出的是运动员”;“选出的是北方人”。问：（1） 各表示什么事件？ CB,（2） 各表示什么意义。（3）在什么条件下， .BA, ABC解 （1） =“选出的是南方的不是运动

5、员的男生”。C（2） 表示该班选出北方的学生一定是运动员。表示选出的不是运动员的男生是南方的。（3） 当 时 。BA BAA6、 设 是四个随机事件，试用这几个事件表示下列事件：4321,A（1） 这四个事件都发生； （2） 这四个事件都不发生；（3） 这四个事件至少有一个发生； （4） 都发生，而 都不发生；21,A43,A（5） 这四个事件至多一个发生。 （6） 这四个事件恰有一个发生。3解 （1） ; （2） ; （3） ;4321A4321A1234A（4） ; （5） ;141(6) ;123412342343217 从一副扑克牌（52 张，不计大小王）中任取 4 张，求取得 4 张

6、花色都不相同的概率。解 从 52 张牌中任取 4 张共有情况 种，每一种情况看作每一种基本事件，所以此试验452C的样本空间中基本事件的个数 。设事件 “任取的 4 张花色都不相同”，nA中包含的基本事件个数 可以用乘法原理求， 事件 完成要从四种花色中各取一张，AK故 , 413k45213()0.kPAnC8 某房间里有 4 个人，设每个人出生于 1 月至 12 月中每一个月是等可能的。求至少有1 人生日在 10 月的概率。解 设事件 “至少有 1 人生日在 10 月” “4 个人生日都不在 10 月”A3.072)()(4AP9 袋中有 10 只形状相同的球，其中 4 只红球，6 只白球

7、，现从袋中一个接一个地任意取球抛掷出去，求第 3 次抛掷的是红球的概率。解 此随机试验 E 为：从袋中每次任取一球，不放回地连取三次，相当于从 10 只球中任取 3 只排列在三个不同的位置上，其不同的排列数为 ,即其基本事件共有 个,310P310Pn设事件 “第三次抛掷的是红球”所包含的基本事件个数 求法如下：首先事件 A 表示第k三次抛掷的是红球，即第三个位置应放红球，可从 4 个红球中任取一个放入，共有 种14C放法；前两个位置任从剩下的 9 个球中取两个放在不同的位置，其放法有 种。由乘法29P原理可知2914PCk52)(31094PCnkA10 将一枚硬币连续抛掷 10 次，求至少

8、有一次出现正面的概率。4解 设事件 “至少出现一次正面” ， “全不出现正面”AA若一枚硬币连续10 次，每次有正、反两种情况，所以随机试验 E 的基本事件个数 ， 所包含的基本事件个数 . 则102n 1k9.021)()( nkP11 盒中有 10 个乒乓球，其中 6 只新球，4 只旧球。今从盒中任取 5 只，求正好取得 3只新球 2 只旧球的概率。解 从盒中 10 只球任取 5 只的取法共有 种，即为此随机试验的基本事件的个数， 510C. 设事件 “正好取得 3 只新球 2 只旧球”510CnA事件 所包含的基本事件的个数 的考虑方法：先从 6 只新球中任取 3 只，其取法有k种；再从

9、 4 只旧球中任取 2 只，其取法有 种。由乘法原理得 ,36 24 246Ck76.01)(50436CnkAP12.10 件产品中有 6 件正品，4 件次品。甲从 10 件中任取 1 件（不放回）后，乙再从中任取 1 件。记 “甲取得正品”； “乙取得正品”。求B)./(),/(),AB解 求 的问题是甲从 10 个球中任取 1 球，其方法有 10 种，事件 是甲取得 1 件是P A正品，只能从 6 件正品中任取 1 件，所以取法是 6 种。 5306)(P求 问题是在甲取得一件正品的条件下不放回，求乙再任取一件是正品的概率， )/(AB样本空间 是：甲从 10 件产品中取出一件正品后，再

10、从剩下的 9 件产品中任取 1 件的问1题。此时基本事件个数 ,在此 中正品是 5 件，事件 B 包含的基本事件个91Cm1数 ，求 的问题可用上面两种方法，所不同的是 .51k5)/(ABP)/(ABP“甲取得一件是次品”， A62/9313 甲、乙两城市位于长江下游，据气象资料知道：甲、乙两城市一年中雨天的比例分5别是 20和 18，两地同时下雨的比例为 12：（1）已知乙市为雨天，求甲市也是雨天的概率；（2）已知甲市为雨天，求乙市也是雨天的概率；（3）求甲、乙两市至少有一城市为雨天的概率。解 设事件 “甲市为雨天”; 事件 “乙市为雨天”。则AB所求的问题：12.0)(18.0)(0.)

11、( APBPP（1） ;（2） 67.3.2/;.052.1)(/( APB（3） 26.01.802.)() ABP14 甲袋中有 3 个白球，7 个红球，15 个黑球；乙袋中有 10 个白球，6 个红球，9 个黑球。今从两袋中各任取一球，求下列事件的概率。（1） 事件 “取得 2 个红球”; （2） 事件 “取得的两球颜色相同”A解 (1) 随机试验为从甲袋 25 个球中任取 1 球，从乙袋 25 个球任取 1 个，其基本事件总数 . 由乘法原理知道事件 包含的基本事件个数 65125Cn A. .476k 6254)(nkp用 分别表示从甲袋取得白球、红球、黑球；用 分别表示从乙袋取32

12、1,A 321,B得白球、红球、黑球。则 。2AB与 相互独立。2B 62547)()(2P（2） 与 相互独立, 且321k)31三种情况互不相容，321,A则 123()()()PBPBA)()()( 321 BPAPB6075962570315. 制造某种零件可以采用两种不同的工艺：第一种工艺要经过三道工序，经过各道工序时出现不合格品的概率分别为 ；第二种工艺只要经过两，道工序，但经过各3.,21.6道工序时出现不合格品的概率均为 。如果采用第一种工艺，则在合格品的零件中得到3.0一级品的概率为 0.9, 而采用第二种工艺，则在合格品的零件中得到一级品的概率为0.8。试问采用何种工艺获得

13、一级品的概率较大。（注：各道关系出现不合格品时相互独立的）解 设事件 “采用第一种工艺获得一级品”;事件 “采用第二种工艺获得一级品”AB;第一种工艺经过三道工艺，第 k 道工序出合格品事件记为 (1,23)kA由题设知道： .901.)(1)(AP.82.0)(22AP .703.1)()(33P第二种工艺二道工序，第 k 道工序出合格品的事件记为 .,2)kB由题设知道： ).(7.01)()( 21BP9)(9.0)( 3232 AAP 45.097.803.7.08.)(8.)11B所以采用第一种工艺获得一级品的概率较大。16一箱产品共 100 件，其中有 5 件有缺陷，但外观难区别，

14、今从中任取 5 件进行检验。按规定，若未发现有缺陷产品，则全箱判为一级品；若发现一件产品有缺陷，则全箱判为二级品；若发现两件以上有缺陷，则全箱视为次品。试分别求该箱产品被判为一级品（记为 ），二级品（记为 ）,次品（记为 ）的概率。ABC解 随机试验 E 是 100 件产品任取 5 件，其基本事件的个数 。510Cn事件 包含的基本事件个数 求法是：从 95 件没缺陷的产品取 5 件的个数 An 59An5910().76ACnP事件 包含的基本事件个数 求法：从 5 件有缺陷的产品中任取一件，个数为 ,再从BBn 15C95 件无缺陷的产品中任取 4 件，个数为 ，由乘法原理知1495BC(

15、)0.2BnP7(因为 互不相容)CAB()()PABP,AB()11P02.760117车间内有 10 台同型号的机床独立运转，已知在 1 小时内每台机床出故障的概率为 0.01，其在 1 小时内正好有 3 台机床出故障的概率。解 此问题是独立重复试验问题。 设事件 “10 台机床中任 3 台出故障”，A0.)9.(01.)(7CAP18 据医院经验，有一种中草药对某种疾病的治疗效果为 0.8。现在 10 人同时服用这种中草药治疗该疾病，求至少对 6 人有疗效的概率。解 设事件 “至少对 6 人有疗效”, 967.02.80)(116kkCAP19加工某产品需经过两道工序，如果经过每道工序合

16、格的概率为 0.95，求至少有一道工序不合格的概率。解 设事件 “至少有一道工序不合格”; “两道工序后都合格”.A2()1()0.95.7P20 已知 求：15.0)(,4)(, ABPBP（1） (2) ;(),(ABA,(),();PAB(3) )./(),/,/P解 (1) ;05.()( BP; .3.)ABAB)1()10.5PAB(2) ()(02.45.P)0.815.9. (3) ;()(1(ABAB 3145.0)(/(BPA8; .432.015)(/(APB15.0)(/(BPA21、 某气象台根据历年资料，得到某地某月刮大风的概率为 ，在刮风的条件下下雨3的概率为 。

17、求即刮风又下雨的概率。87解 设事件 “某地某月刮大风”; “某地某月下雨”.AB2407831)/()(BP22 10 个零件中有 7 个正品，3 个次品。每次无放回地随机抽取一个来检验，求：（1）第三次才取到正品的概率；（2）抽三次至少有一个正品的概率。解 设事件 “第三次才取到正品”,因为第三次才取到正品，前两次取得的是次品， A12089)(P“抽三次至少有一个正品”， “抽三次全是次品”BB93)(1)(B23一个工人看管三台机床，在 1h 内机床不需要工人照管的概率：第一台为 0.9，第二台为 0.8，第三台为 0.7。求在 1h 内（1）三台机床都不需要工人照管的概率；（2）三台

18、机床中最多有一台需要工人照管的概率。解 设事件 =“第 k 台机床不用照管” ( )kA3,21k（1） 504.78.90)(321P(2) 设事件 “三台中最多有一台需要照管”每台机床都是相互独立的。B)( )()()() 321321321321 APAA90.8.907.9.078.054. 24有两个电路如图 1-24 所示，每个开关闭合的概率都是 ，诸开关闭合与否彼此独立，p分别求两电路由 至 导通的概率。ab（1） 1k23 b91k3k5k（2） a b2k4k6k解 记 第 个开关闭合 kA,53,21（1）（ 至 导通） ， 两事件 与 3 是相容的。ab123A21A（

19、至 导通）P)()(PP32321321)() PA（ 至 导通） 与 是相容的，ab12456()()AAij是相互独立的，且概率相同。123456()()、 、（ 至 导通）Pab123456()()()P312()PA21)(AA 21A323()pp25大豆种子 保存于甲仓库，其余保存于乙仓库，已知它们的发芽率分别为 0.92 和520.89，现将两个仓库的种子全部混合，任取一粒，求其发芽率。 解 设事件 “大豆种子保存于甲仓库”; “大豆种子保存于乙仓库”;1A2AB=“取到的一粒种子发芽” 由题意可得， ， 由全概公式得：52)(1P53)(2P902.8.532.0)/(/21

20、ABAB26有三个盒子，在甲盒中装有 2 支红芯圆珠笔，4 支蓝芯圆珠笔；乙盒中装有 4 支红的，2 支蓝的；丙盒中装有 3 支红的，3 支蓝的。今从中任取一支（设到三个盒子中取物的机10会相同），问取到红芯圆珠笔的概率是多少？解 设事件 “笔取于甲盒”; “笔取于乙盒”; “笔取于丙盒”;1A2A3A“取到的是红圆珠笔” ,由题意可得 ， ， B1)(P1)(231)(P由全概公式得： )/()/()/()( 332211 ABABABP 2)(27射击队里有编号为 1,2,3,4,5 的五名射手，其射击命中率分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.9。今从该队任选一名射手对靶射击一次。（

21、1）求命中目标的概率；（2）已见命中目标，求选取的是 1 号射手的概率。 解 记 “选取第 号射手” . “命中目标”,KAk5,432,kB的发生可能是第一号射手击中目标，可能是第二号射手击中目标，可能是第五号B射手击中目标，即 。 求 用全概公式。51()()/)kkkPBAP)(7.09518.07.516.0.5)/()(1 nkkkABP问题是求已知目标被击中恰好是一号射手击中目标的概率即 .由贝叶斯公式：)/(1BAP111()/)(/PBA43.0728转炉炼高级钢，每炉钢的合格率为 0.7，假定各次冶炼互不影响，若要求以 99%的把握至少能炼出一炉合格钢，问至少需要炼几炉？解 设至少炼了 炉才能以 99的把握炼出合格的钢。n事件 “炼出的一炉是合格的” “炼出的一炉是不合格的” 。iAiAni,21事件 “炼出合格的钢” ， B 3.0)(,7.0)(ii APP1212()nnP 9.3.()nA， ， 。 所以必须炼 4 炉。9.03.n0,.n 4.0l