1、概率论与数理统计内容提要及习题详解 第九章 历届试题 第 60 页 共 10 页6007 年秋概率与数理统计试题及参考答案一、单项选择题（每小题 2 分，共 20 分）1设 为两个事件，且 ，则 【A】,AB()0PA()BA ； B ； C ； D 。(P()PAB2设 相互独立，且 ，则下列结论错误的是【C】,()A ； B ； ()PA()(AC ； D 。()BP )PB3设随机变量 的概率密度为 ，则常数 【B】X,0,1()20,xxfa若若若 aA1； B2； C3； D4。4设随机变量 的概率分布函数为 ，则 【D】X1,0()0,xFx若若 (150)PXA ； B ； C
2、； D 。12143235设二维随机变量 的联合分布函数为 ，则 的边缘分布函数为 【C】(,)Y(,)xyY()FyA ； B ； C ； D 。(,)Fx(,)Fx,)F,6设 ，则 【C】25,()44DXovXYXYA ； B ； C ； D 。0.40. 0. 47设随机变量 ，且它们相互独立，则 【D】221(,)(,)N:XY:A ； B ；21(, 211(,)NC ； D 。212) 228设随机变量 的概率密度为 ，则 【B】X2(1)4()xfxe()XA ； B ； C ； D 。22 1概率论与数理统计内容提要及习题详解 第九章 历届试题 第 61 页 共 10 页6
3、19设 分别为来自两个独立的正态母体 的简单随机样本，1212,.,.NNXY与 (1,5)2,6)N与分别为其样本方差，则统计量 服从【D 】12S与 2165SA正态分布； B 分布； C 分布； D 分布。2tF10设 为来自正态母体 的简单随机样本， 分别为其样本均值与样本方12,.NX(,1)2XS与差，则用来检验假设 的统计量为【A】000:,:HA ； B ； C ； D 。0()XS01SN01()NX二、填空题（每小题 2 分，共 16 分）1设 ，且 互斥，则 。()3,()1PA,AB()()(6PABP2某射手独立地向目标射击 次，每次的命中率为 ，则至少命中一次的概率
4、为 。4238013设随机变量 的概率密度为 ，则分布函数 。X2()1)fx1arctn()2xFx4设随机变量 ，则 的概率密度函数为 。0,2U:2YX,0,44()0fx若若5设 的概率密度函数为 ，则常数 。(,)XY ,)1,(,)0axyfxy若 (若 14a6设随机变量 ，则未知参数 的矩估计为 。0,U:2X7设 为 的简单随机样本，且 ，则常数 。121,.(,.25)N210(1)ka:4a8设 为 的简单随机样本， 为样本均值，则 。,.X,XE三、计算题（每小题 8 分，共 64 分）1由统计资料知某地区病人中 三种疾病的患病率分别为 ，且 三种疾,ABC004,51
5、,ABC病的患者之化验结果呈阳性的概率分别为 ，假设每个病人只可能患其中的一种。求0.7,.2病人的化验结果呈阳性的概率； 病人的化验结果呈阳性时，此人为 病患者的概率。概率论与数理统计内容提要及习题详解 第九章 历届试题 第 62 页 共 10 页62解: 用 分别表示病人患 病、患 病、患 病， 表示此人的化验结果呈阳性，则由题设123,AABCD知 两两互斥，且 ，而123，故0.4, 0.7,1()5,()42.1,3.,3k kkkPPD若 若若 若若 若病人的化验结果呈阳性的概率为:；13()()0.7.50.10.5kkDA病人的化验结果呈阳性时，此人为 病患者的概率为:,ABC
6、。.6()( 04,2.3kkk kPA若若若2设袋中有 只红球、 只白球，从中不放回地任取 只球，用 表示取到的红球之个数，求 的42XX概率分布及其数字特征。解: 由题设知， 的概率分布及其数字特征分别为:X， ，24615,0()81,2kkCP若若若 201864()()025153kEXP。22 220 4484()()(0)(1)()3533kDXEPXk 3设随机变量 的概率密度为 ，求常数 、数字特征2,)axyf若若 (a及 。(),E()D解: 且满足 ，故参数 ，而其数字特征为：0a21613fxdaxa316，2 223 43()()0,()() .6 16Xf XxE
7、fxdx 。(.41PEDXP4一箱产品共有 件，其中一、二、三等品分别有 件，从中任取一件产品，令1070,21, ,1k kX若 取 到 的 产 品 是 等 品若 取 到 的 产 品 非 等 品，求 及 的概率分布率。()X1概率论与数理统计内容提要及习题详解 第九章 历届试题 第 63 页 共 10 页63解: 由题设知， 及 的概率分布率分别为:12(,)X1，1212 10(0,(3).7,) .20(0,().1,) )0PPXPP 取 到 的 一 件 产 品 是 等 品取 到 的 一 件 产 品 是 等 品取 到 的 一 件 产 品 是 等 品取 到 的 一 件 产 品 既 是
8、等 品 又 是 等 品。11212(0(,0)(,)0.2.3) 7XXX5设随机变量 服从参数 的 分布， 服从 上的均匀分布，且相关系数为PoisnY,6，求 的数字特征 。16XY2ZY(),EZD解: 由于 服从参数 的 分布， 服从 上的均匀分布，故is0，从而2(),()0623,()613EDY，2) 1EX。440XZYY 6设母体 的均值为 ，方差为 ，分别抽取容量为 的两个独立的简单随机样本，其样本均212,n值分别为 ，则 ，统计量 都是 的无偏估计，求 ，使12,aR1()aaR最小。()DY解:因 ，故 是 的无偏估计，12()()()EXE12()YaX又 ，222
9、22 211 1 ()()()()()naYaaDn令 ，得 ，即此时 最小。122()0dDn21()DY7对某型号飞机的飞行速度进行了 次试验，测得最大飞行速度的平均值为 ，样6n 425Xms本标准差 ，根据长期经验，可以认为飞机的最大飞行速度服从正态分布 ，在8.4Sms (,)N的置信水平下，求 之置信区间。0.95概率论与数理统计内容提要及习题详解 第九章 历届试题 第 64 页 共 10 页64解: 由于 ，故 ，(1)XttnS:2(1)XPtnS，20.25(1)().13tnt故在 的置信水平下， 之置信区间为:9。22(1),(1)43.810,26.9SSXtnXtn
10、8在正常生产条件下，某产品的测试指标服从正态分布 ，后来改变了生产工艺，0(,).3N出了新产品，假设新产品的同一测试指标服从标准正态分布，从新产品中随机地抽取了 件，10n测得样本标准差 ，问在显著性水平 下，新产品的测试指标之方差 有无显著变0.4S0.52化? 解: 问题即检验 ，在 为真时， ，而200:H200:220(1)(1)nSn:，应接受 ，即2 220.9750.520(1)6(.7,19.3)(),()nS20:H在显著性水平 下，新产品的测试指标之方差 无显著变化。5概率论与数理统计内容提要及习题详解 第九章 历届试题 第 65 页 共 10 页6508 年春概率与数理
11、统计试题及参考答案一、单项选择题（每小题 2 分，共 20 分）1设 为两个事件，且 ，则【D 】,AB()0PABA 互斥； B 独立； C ； , ()0()PAB或D 。()(P2设 对立，则下列结论错误的是【B】,A ； B ； C ； D 。()0()PA()1PAB()1PAB3设随机变量 ，则【C】1,)XN:A ； B ； ()(0.5P ()fxfC ； D 。) 1()F4设随机变量 的概率密度函数为 ，则 【A 】X 23(),0,24()0,xxf若若 ()PXA ； B ； C ； D 。121413345设随机变量 独立，且 ，则 【A】Y与 (2),(,)YN:(
12、2)XYA17； B7； C ； D1。6设 的概率分布如右图所示，则 【C】(,)X(1)PXA ； B ； C ； D 。0.20.30.40.57设随机变量 满足 ，,Y(),()()DYEY且则必有【B】A 独立； B 不相关；,X ,XC ； D 。()()YY ()()YD8设 是 的简单随机样本， 分别为其样本均值与样本方差，则12,.n0,1N:2XS与【C】010.3.21概率论与数理统计内容提要及习题详解 第九章 历届试题 第 66 页 共 10 页66A ； B ； C ； D 。(0,1)XN:(0,1)nXN:21()nkX:(1)XStn:9设 是总体 的样本，且
13、，令 ，则 【B】12.n 2D21nkYEYA ； B ； C ； D 。21221n10在假设检验中，显著性水平 表示【B】A ； B ；0()PH接 受 为 假 0()PH拒 绝 为 真C ； D置信度为 。1 1二、填空题（每小题 2 分，共 16 分）1设 独立，且 ，则,AB()0.4,()0.6PAB。()(13P2某射手独立地向目标射击 3 次，每次的命中率为 ，则至少命中一次的概率为 。22673设 ，则 的边缘密度 。4(),0(,)(,)0,xyexXYFxy:若其 它 X31,0()xef若若4设 ，则 。()1,()9,()1DXY(,)(,)()3CovYDY5设
14、，利用切比雪夫不等式估计 。2Xe: 2440.25PX6设 为 的简单随机样本，则 。12,.n2(,)N: 2()n7设 ，则 。01,Fmn8设 为 的简单随机样本，则 的矩估计为 。12,.nX()X三、计算题（每小题 8 分，共 64 分）1已知男子中有 是色盲患者，女子中有 是色盲患者，现从男女人数相等的人群中随机地050.25选一人，问此人是色盲患者的概率为多少?若已知此人是色盲患者，求此人是男性的概率。解:用 表示所选人为男性， 表示所选人为色盲患者，则AB， ， ，故()0.5P0()5PA0().25PA概率论与数理统计内容提要及习题详解 第九章 历届试题 第 67 页 共
15、 10 页67，000()()().5.25.6PBAPBA。0.2.938()612袋中有 5 个同样大小的球，分别给其编号为 ，从中同时取出 3 个球，用 表示所取的 3,.5X个球上号码的最大值，求其概率分布及分布函数。解: 发生 所取的 3 个球中有一个的号码是 ，其余 2 个的号码是从 中取到的，Xkk1,2.k故 ， ，即125()(1)20kPCk3,453 4 510610其分布函数及其图形如下：。0,3.14()()4,5kx xFxPX 若若若若3设 的联合密度函数为 ，求常数 、 的边缘(,)Y(),01,(,)xyAeyfy若其 它 A(,)XY密度并判断 是否独立。,
16、X解:由密度函数的性质有 ，故 ,1 101(,) ()xyfxydAede 1e且 ，11,(,)()(,)0efxfyx若若，2,()(,)yeYfyfdx:若若由于 ，故 相互独立。12,fxf,XY4设 的联合分布律如下，求 的数字特征。()X()Y2()PX118838概率论与数理统计内容提要及习题详解 第九章 历届试题 第 68 页 共 10 页682481858()PY531解:其边缘分布如上表所示，故，311()12,()288EXEY，2535378，4()1Y，222215(),()()664DXEXDYEY。7(,)7(,) ,415CovXCov D5设 服从正态分布，
17、且 ，求 的数字特,Y(1,9)(0,16),)0.NYY: 32XYZ征及 。()XZ解: ，1()32323EEY，2 22111() (,)()960.596333DDXDY，1,() 0.532CovXZ 。,()0v6设 为母体 的简单随机样本，参数 的极大12,.n(1),(,1),0xXfx:若若 1似然估计。解: ，即 ，1211()()()nnnkk nkLf X 1lln()lnkLX由 得 。1ll0nkd1(lkkn7设某种清茶的干燥时间 ，其中 均未知，从中随机抽取 个样品，测得其2(,)XN:2, 9n干燥时间为 ，在 的置信水平下，求 之置信区间。6.0,57.8
18、,6.035.6.0.95概率论与数理统计内容提要及习题详解 第九章 历届试题 第 69 页 共 10 页69解: 由所给数据得 ，而 ，故 ，26,0.38XS(1)XttnS:2(1)XPtnS，故在 的置信水平下， 之置信区间为:20.25(1)(8).tnt.95。22,(1).26,.4738SSttn 8某炼铁厂的铁水含碳量 ，现测定了 炉铁水，其平均含碳量 ，4.5,08XN:9n4.8X如果铁水含碳量的方差没有变化，现在的铁水平均含碳量仍为 (显著性水平 )? 04.505解: 问题即检验 ，在 为真时， ，而00:H00:,1)XzNn:，故在显著性水平 下，可以认为现在的铁水20.51.83196Xzzn0.5平均含碳量 。045
