概率论计算习题.doc

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资源描述

1、概率论计算:1已知在 10 只晶体管中有 2 只次品,在其中取两次,作不施加抽样,求下列事件的概率。 (1)两只都是正品?(2)两只都是次品?(3)一只是正品,一只是次品?(4)第二次取出的是次品?解:设 A1、A2 表示第一、二次取到正品的事件,由等可能概型有:(1) 45289710)1|()(APAP(2)451902)|(),AP(3) (4) 451698028)1|2()|()AP519028)1|2()|()1APAP2某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的,根据以往记录有如下数据设三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志。 (1)在仓库中随机地取一只晶体管,

2、求它是次品的概率。(2)在仓库中随机地取一只晶体管,发现是次品,问此次品是一厂产品的概率?解:设 Bi(I=1,2,3 )表示任取一只是第 I 厂产品的事件, A 表示任取一只是次品的事件。(1)由全概率公式(2)由贝叶斯公式0125. 03.51.08)|()3|(|()BAPBAP4.0125.)(|)|(3房间里有 10 个人,分别佩戴从 1 号到 10 叼的纪念章,任选三人记录其纪念章的号码,求:(1)最小号码为 5 的概率;(2)最大号码为 5 的概率。解:由等可能概型有:(1) ;1230CP(2) 446 件产品中有 4 件正品和 2 件次品,从中任取 3 件,求 3 件中恰为

3、1 件次品的概率。解:设 6 件产品编号为 1,26,由等可能概型 56124CP5设随机变量 X 具有概率密度 。 ( 1)确定常数 k;(2)求 P(X0.1)0,03)(xkexf解:(1)由 有 (2)1)(dxf 330kdde所 以7408.31.0).(xexP6一大楼装有 5 个同类型的供水设备,调查表明,在任一时刻 t,每个设备被使用的概率为 0.1,问在同一时刻(1)恰有 2 个设备被使用的概率是多少?(2)至多有 3 个设备被使用的概率是多少?(3)至少有 1个设备被使用的概率是多少?解:由题意,以 X 表示任一时刻被使用的设备的台数,则 Xb(5,0.1),于是(1)

4、0729.3.125)(CXP(2) 95.051.0.41)()(3)1()()(CXP(3) 40951.)0()(CXP7设随机变量 X 的概率密度为 ,048)(其 它xxf求 )31(xP解: 28dx8由某机器生产的螺栓的长度(cm)服从参数 =10.05,=0.06 的正态分布,规定长度在范围10.050.12 内为合格品。求一螺栓为不合格品的概率。解:由题意,所以为 0456.)2(1)06.12(. ).5.05(xP9设 XN( 3,2 2)求:(1) )3(),2|(,1045xP(2) )()(cxP解:(1) 5328.0).() )23(xP96.0)5.3()(2

5、41)04(x697.0)23()2(1)|()|(xP5.0)()3(X(2)由 Pc=P(xc),即3,0231)()23(ccc所 以10设随机变量 X 的分布律为X -2-10 1 3P 650求 Y=X2 的分布律。解:Y=X 2 的全部取值为 0,1,4,9 且 P(Y=0 )=P (X=0 )= ,51P(Y=1)=P(X=-1 )+P(X=1)= ,307156P(Y=4)=P(X=-2 )= ,51P(Y=9)=P(X=3)= 故 Y 的分布律为30X 0 1 4 9P 53730111设二维随机变量(x,y)具有概率密度 (1)求分布函数 F(x,y) ;其 它,00,)2

6、()( yxyexf(2)求概率 P(Y X)解:(1)(2)其 它其 它,00,),1)(2(, ,)(,),( yxyexdxdyxyfF31)2(,dyxeyfXYP12已知(X,Y)的联合分律为XY0 1121/81/41/43/8求 X 及 Y 的边缘分布律。解:X 的分布律为X 0 1P 835Y 的分布律为X 1 2P 83513设随机变量(X,Y)的联合概率密度为 ,边缘概率密度 。其 它,016),(xyxf )(,yfx解: 其 它其 它,010),2(6,),()(xxxdyxff其 它其 它,010),(6,),()(yydxyyff14设(X,Y)的概率密度为 其 它

7、,042,),6(),(yxkyxf(1)确定常数 k;(2)求 P(X30) ,S 近似服从正态分布 N(, 2/2n),其中 为总全的标准差,试证: 的 100(r 2)%的置信区间为 nxZSnxZSxZnSxZPNnSxZSnxZ2/12/1/12/2),0(/ 2/:/1/21即则 近 似 服 从近 似 服 从证解 32总体 XN(, 2) 是来自总体区的容量 n=16 的样本,S 2 是样本方差nX,.1 4375.0475.19.)(.)61/)(:95.0.162)(2ktPksuZsXPKiZS有解 值的 试 求 满 足33已知离散型随机变量 X 服从对数为 2 的泊松分布,

8、即 求 X=3X-2 的数学期望 E( X) 。.2,1)(KkZP4)(232)(3)(:XEXE解34设随机变量 X 与 Y 独立,且 XN(1,2)YN(0,1)试求 X=2X-Y+3 的概密度。18)5(23)(9432(): 2xegzfYDX解35设随机变量的分布律为 P(Z=K )= ,确定 a。0.)2,1(kaeaaekikKZP010)(:解36设(X,Y)的密度函数为 求 X,Y 的边缘密度函数判别其独立性。其 它,0,),(xyeyxf不 独 立与 其 它 同 理其 它时当解 YZyfxzyfexyxfedyxfzf)(),(0,),(),()(0:37设随机变量(X,

9、Y)的概率密度为 求:常数 C 及联合分布主数 F(X ,Y ) 。其 它,00,)43(),( yxCeyxf其 它解 ,00,)41)(3(,)(,121203),(1: yxexyFdxyfxCcexedyfx38设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数 求二维随机变量(X,Y)的联合其 它 当,00,31),( yxyxF(x,y)解:可验证 F(x,y)是连续型二维随机变量的分布函数,则其 它,00,)3(ln),(2323lnl2),( yxyxyFyxXyx39测定某种溶液中的水份,它的 10 个测定值给出 S=0.037%,设测定值总体为正态分布, 2 为总体方差试在水平 a=0

10、.05 下检验假设H0:=0.04%, H 1:a0 是未知参数, 是来自总体 X 的容量为 n 的样nX,.21本,记 。证明: 。niZ1的 无 偏 估 计为 Z3223)()(23)(,02)(:ZEEZdxxPX其 它的 分 布 概 率 密 度 函 数解45设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为 求 X=X-Y 的概率密度函数。其 它,0,13),( xyxyxP其 它时当 时当 时当解 ,01),21(3)()(,123)()00: ZzFdzPZYXPzFZzF46设随机变量 Z 的概率密度为 求 E(Z)及 D(Z) 。xexP|21)(20)(2)( 0|1:dxedxXPE

11、ZDex解47对圆的直径作挖测量,设其值均匀地分布在a,b内,求圆面积的数学期望。解:设圆直径为随机变量 Z,圆面积为 Y。)2(124)()(,0124)(badxXfEYbxabxzPZfY其 它则48随机向量(X,Y)在区域 D=(x,y)|0x1,|y|x|上服从均匀分布。求关于 Z 的边缘分布并求 Z=2Z+1的方差。 92184)()()18210)2(3,0122)(,0|1),(:ZDZDExdEZxzPxdzyxyx其 它时当 其 它面 积 为解 49设 是来自参数为 的泊松分布为总体的一个样本,试求 的极大似然估计。nX,.ZnixiniixixLniiXexZP1011)l(l)(l)(1:令解50已知随机变量 Z 的分布函数为 求 E(Z)和 D(Z) 。4,10,)(xF3412)0(),041)()(:ZDExdxFP上 的 均 匀 分 布服 从 其 它解

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