概率论习题2015年12月.doc

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1、1习 题第一章 随机事件及其概率要点:事件的运算概率计算条件概率(乘法公式,贝叶斯公式)事件的独立性:P(AB)=P(A)*P(B) (事件互不相容 ;相互对立的含义AB=)A与伯努利模型 B(n,p)习题:P13,例 4;(不放回抽样) (摸两次球,问一红一黑的概率是多少)P16,例 3(条件概率的计算)P16,例 4(放回抽样+条件概率 的计算) (问第一次摸到红球,第二次摸到黑球的概率是多少?)P23,例 4 (放回抽样的概率计算)P24,例 6(贝努力模型)习题一:P26第 8 题第 11 题第 12 题第 13 题第 15 题第 31 题1. 设 A,B 为两个随机事件,且 P(A)

2、0,则 P(ABA)=()A. P(AB )B. P(A)C. P(B)D. 1答案:D解释:P(A BA)=P ((A+B)|A)= ()()()1PABAP2设 A=2,4,6,8,B=1 ,2,3,4 ,则 AB=( )A2 ,4 B6,8C1,3 D1,2,3,42答案:A3已知 10 件产品中有 2 件次品,从这 10 件产品中任取 4 件,没有取出次品的概率为( )A B15 1C D3 2答案:c;4810p4设事件 A,B 相互独立, ,则 =( )()0.4,()0.7,PAB()PBA0.2 B0.3C0.4 D0.5答案:D5设 A, B, C, 为随机事件, 则事件“A

3、, B, C 都不发生”可表示为( A )A B CAC D6设随机事件 A 与 B 相互独立, 且 P (A)= , P (B)= , 则 P (AB)= ( B )513A B253 27C D4 537、掷一枚不均匀硬币,正面朝上的概率为 ,将此硬币连掷 4 次,则恰好 3 次正面朝上的概率是( c )A. B. C. D. 812788132解释: 4()PC属 于 贝 努 力 模 型 :8、设 A,B 为随机事件,且 A B,则 等于( B )A. B.C. D.9.同时掷 3 枚均匀硬币,则至多有 1 枚硬币正面向上的概率为( D )3A. B.81 61C. D.4 210设 A

4、、B 为两事件,已知 P(B)= ,P(A B)= ,若事件 A,B 相互独立,则 P(A)=( 213c )A B91 61C D3 2【解】p(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)11.设 A,B 为随机事件,且 P(A)=0.7,P(AB)=0.3,求 P( ).AB【解】 P( )=1P(AB)=1P( A)P(AB)=10.70.3=0.612.设 A,B ,C 为三事件,且 P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3 且 P(AB)=P(BC)=0, P(AC)=1/12 ,求 A,B,C 至少有一事件发生的概率.【解】 P(AB C )

5、=P(A)+P(B)+P(C)P( AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)= + + =1432413. 从 52 张扑克牌中任意取出 13 张,问有 5 张黑桃,3 张红心,3 张方块,2 张梅花的概率是多少?【解】 p= 5321315C/14. 对一个五人学习小组考虑生日问题:(1) 求五个人的生日都在星期日的概率; (2) 求五个人的生日都不在星期日的概率;(3) 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】 (1) 设 A1=五个人的生日都在星期日,基本事件总数为 75,有利事件仅 1 个,故P(A 1)= =( ) 5 (亦可用独立性求解,下同)57(2) 设 A2=五个人生日都不在

6、星期日,有利事件数为 65,故P(A 2)= =( )56(3) 设 A3=五个人的生日不都在星期日P(A 3)=1P (A1)=1( )57415、已知盒子里有 10 张卡片,上面分别标有号码(1 号10 号) ,从中抽取 5 次,每次随机地取一张,观察其上的号码后放回设 X 表示观察到奇数号码的次数,则随机变量 X 服从什么分布。答:贝努力模型 55p(x=k)C0.kk16、 甲、乙、丙三人独立的向同一飞行目标各射击一次,击中的概率分别为0.4,0.5,0.7。如果只有一人击中,则目标被击落的概率为 0.2;如果有两人击中,则目标被击落的概率为 0.6;如果三人都击中,则目标一定被击落。

7、求目标被击落的概率。解:设 A 表示“目标被击落 ”, 依次表示“甲、乙、丙击中目标” , 表示“有321,BiCi 个人击中目标” ,i=1,2,3。则有题设有: 7.0)(,5.0)(,4.0)( 321 PBP3132321C)()()() 3212B)(3211321 PPBPB6.075.60.56.05.40 同理 321321321C4)(2C3B4.)(CP由全概率公式得: 30)|()(i iiAAP458.01.641.26. 17. 三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为 , , ,求将此密码破译出1534的概率.【解】 设 Ai=第 i 人能破译(i=1,2,3

8、) ,则31231231()()()()iPAPA40.65518、已知袋中有 10 球,其中 3 白、7 黑,先后两次从袋中取一球(不放回) 。求(1)已知第二次取到的是黑球,求第一次取出的是黑球的概率。【解】记 Ai 为事件“第 i 次取到的是黑球”121121221(=P(|)(=90530(|)PA9)( ) )故 : ( )第二章 随机变量及其分布要点:(1)离散型随机变量的概率分布(0-1 分布;二项分布) ;(2)分布函数;概率密度;(3)连续型随机变量的概率密度及概率分布(均匀分布、指数分布、正态分布的概率密度及概率分布函数(第四章的部分内容) ) ;习题:P36 例 5;P3

9、8 例 7。P41 例 9(均匀分布) ;P43 例 1(离散型二元随机变量的联合概率分布) ;P44: 例 2(边缘分布)习题 2P55 第 5 题P55 第 11 题P55 第 12 题P56 第 14 题P56 第 19 题P57 第 22 题P58 第 28 题P55 第 33 题61.下列各函数中,可作为某随机变量概率密度的是( )A B.其 他,0;12)(xxf 其 他,0;12)(xxfC. D.其 他,1;3)(2f 其 他,;4)(3f2.下列各表中可作为某随机变量分布律的是( )A. B.C. D.3、设连续随机变量 X 的概率密度为 则 P1X1( )其 它 , ;,0

10、2x)(fA.0 B.0.25 C.0.5 D.14.设随机变量 XN(2,2 2) ,则 P01.3.答案:1、A 2、C 3、B 4、因为 所以 ,P0X 4= (,4)N2(0,1)N0( ()12()0.8413-=.622xxP5、 (1-3/56);6、N(0,1);7、解:(1)X 0 1 2P 0.5 0.2 -0.1X 0 1 2P 0.3 0.5 0.1X 0 1 2P 34X 0 1 2P 54720 21 1000 11() ()| 2(2)2xx xdFx xx (2)略8、设离散型随机变量 X 的分布函数为解知 221XP3ba:)(的 性 质利 用 分 布 函 数

11、 xF),0(iii ,1)(F)()(a.1且 .65,由 此 解 得0,1,()2,2,3.1,2xaFxbxPXabX且 试 确 定 常 数 并 求 的 分 布 律 。8X2136P.,61,0)(xF因 此 有9、从学校到火车站的途中有 3 个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是 ,设 为途中遇到红灯的次数,求随机变量 的分布律、分布函数25XX和数学期望.解 ,分布律为(3,)XB332()()0,123.5kkPC即01275468215P的分布函数为X0,27158(),2,7,3,125.xFxxx954721506()1EX多维随机变量及其分布1、

12、设随机变量 X 与 Y 相互独立,其联合分布律为XY1 2 3120.180.300.120.08则有( )A=0.10, =0.22 B=0.22, =0.10C=0.20, =0.12 D=0.12, =0.202设离散型随机向量(X,Y)的联合分布列为:YX 1 2 30 0.2 0 0.11 0.1 0.1 0.22 0.1 0.2 0求:(1)X,Y 的边缘分布列;(2)判断 X 与 Y 是否相互独立;(3)计算 PX2,Y2.答案:1,D ; 2,(1)X,Y 的边缘分布列:YX 1 2 3 i.()pipXx0 0.2 0 0.1 0.3101 0.1 0.1 0.2 0.42

13、0.1 0.2 0 0.3.(Y)pjjpy0.4 0.3 0.3 1(2) 0,1(X0P(y1)X故:X 与 Y 不相互独立(3) (2,)p(,)p(,1)p(X2,1)0.4pYYY第 3 章 随机变量的数字特征要点:(二元随机变量只要求离散型随机变量的相关计算)(1)数学期望值,又称均值(离散型,连续型)的计算 +-EX=x()fd( )(2)方差的计算,性质: 2()E()DC0(XY)()2cov(X,Y)D(如 果 ,相 互 独 立 则 :(3)协方差及相关系数协方差常用计算公式:COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)()(XEY)如 果 X,Y相 互 独 立 则 :课本例题,习题:P62:例 1(0-1 分布的均值) ;P63:例 4(均匀分布的均值) ;P67:例 4(指数分布的均值)P70:例 1(0-1 分布的方差) ;P72:例 3(均匀分布的方差) ;

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