1、 概率论与数理统计试题11 级计算机大队二区队1、选择题：1、假设事件 A 与事件 B 互为对立，则事件 AB( )。(A) 是不可能事件 (B) 是可能事件(C) 发生的概率为 1 (D) 是必然事件答案：A。这是因为对立事件的积事件是不可能事件。2、某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待 的时间小于 10 分钟的概率是（ ） 。A、 B、 C、 D、1612160172答案：A。以分钟为单位，记上一次报时时刻为 0，则下一次报时时刻为 60，于 是，这个人打开收音机的时间必在（0，60）内，记“等待时间短于分 钟”为事件 A。则有 S=（0，60） ， A=（5
2、0，60） 所以 P(A)= = = 。AS063、设连续型随机变量（X,Y）的两个分量 X 和 Y 相互独立，且服从同一分布，问 PX Y=（） 。A、0 B、 C、 D、11214答案：B。利用对称性，因为 X,Y 独立同分布，所以有 PX Y=PY X,而 PX Y+ PY X=1， 所以 PX Y=24、设二维随机变量（X，Y）的分布函数为 F(x,y)，分布律如下：则 F（2，3）=（） 。A、0 B、 C、 D、14716916答案：D 。 F（2，3）=PX 2,Y 3=PX=1,Y=1+PX=1,Y=2+ PX=1,Y=3+ PX=2,Y=1+PX=2.Y=2 + PX=2,Y
3、=3= +0+0+ + +0146X Y 1 2 3 41 40 0 162 61403 0 10= 9165、下列命题中错误的是( )。(A)若 ( )，则 ；X:pXDE(B)若 服从参数为 的指数分布，则 ；1XE(C)若 ( )，则 ；b,1,(D)若 服从区间 上的均匀分布，则 .Xa, 322ba答案：B。 2,XDE6、设 服从二维正态分布，则下列条件中不是 相互独立的充分必要条 Y, YX,件是( )。(A) 不相关 (B) X, E(C) (D) 0covY 0Y答案：D。当 服从二维正态分布时，不相关性 独立性。若 服从一 , X,般的分布，则 相互独立 不相关，反之未必。
4、XYX,7、已知总体 X 服从0， 上的均匀分布（ 未知） ，X ，X ，X ，X123的样 本,则（ ） 。n1 122 A- B-EnCX+DXni ii iii 、 是 一 个 统 计 量 、 （ ） 是 一 个 统 计 量 、 是 一 个 统 计 量 、 （ ） 是 一 个 统 计 量答案：C。统计量的定义为：样本的任一不含总体分布未知参数的函数称为该样 本的统计量。而（A） 、 （B） 、 （D）中均含未知参数。2 2123n2 22XNX,XS- ABU=Nnn-CT=t1DXSSn8、 设 总 体 （ ， ） ， ， ， ， ， 是 取 自 的 一 个 样 本 ， 与分 别 为
5、该 样 本 的 样 本 均 值 与 样 本 差 ， 则 下 面 （ ） 是 错 的 。、 （ ， ） 、 （ 0,） 、 （ ） 、 与 不 独 立解 ： 对 于 但 正 态 总 体 来 说 ， 与 是 相 互 独 立 的 ， 故 （ ） 错9、设函数 ，则 F（x）是（） 。0xF/3,21，（ ）（A）是某随机变量的分布函数 （B）是离散型随机变量的分布函数（C）是连续型随机变量的分布函数 （D）不是某随机变量的分布函数答案：A。10、某班级要从 4 名男生，2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至 少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为（） 。A48 B.24 C.28
6、D.14 答案：D。由题意得：如果要求至少有 1 名女生的选派方案种数为：C C +C C1234=14 种。242、填空题：1. 已知 P(A)=0.6, P(B|A)=0.3, 则 P(AB)=（ ） 。答案：0.18。 由乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A)=0.60.3=0.18。2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是 0.4，则飞机被 击中的概率为（ ） 。答案：0.784。是因为三人都不中的概率为 0.6 =0.216, 则至少一人中的概3率 就是 1-0.216=0.784。3、若（X,Y）的分布律为Y X 1 2 31 619182 3a b则 a,b
7、 应满足的条件是（ ） 。答案：由分布律的性质可知， + + + +a+b=1,则 a+b= 。1698134、设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X,Y）的联合分布律 及关于 X 与 Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其它数值填入表中的空白处。解：由边缘概率分布的定义知：P =P P = = ,1:21684又由 X 与 Y 相互独立，有 = P = P P = P ，121:16故 P = ，1:4从而 P = ，又由 P = P P ，即3812:2= P ,82:从而 P = ，类似的有1P = ，P = ，P = ，所以：3:1342:X Y Y(1) Y(2)
8、 Y(3) Y(4)X1 181214X218343X Y Y1Y2Y3Pi:X1 18X218P j: 1P j:16121315、 ， ， ， 是相互独立的随机变量，且都服从正态分布 N( ， )，1X2nX 2( )，则 服从的分布是（ ） ，且 （ ） ，0ii1 XE（ ） 。XD答案：正态分布， ，。n26、设总体 服从参数为 2 的指数分布， ， ， 为来自总体 的1X2nX一个样本，则当 时， 依概率收敛于（ ） 。nnYii12答案： 。127、两个骰子的点数分别为 b,c,则方程 x2+bx+c=0 有两个实数根的概率为（ ） 。解： 。共有 6*6=36 种结果，方程有解
9、，则=b 4c0，即 b 4c，满足1936 22条件的数记为（b ，4c） ，共有（4,4） ， （9,4） ， （9,8） ， （16,4） ， （16，8） ，2（16,12） ， （16,16） ， （25,4） ， （25,8） ， （25,12） ， （25,16） ， （25,20） ， （25,24） ，（36,4） ， （36,8） ， （36,12） ， （36,16） ， （36,20） ， （36,24） ，19 个结果。8、.若书架上放有中文书 5 本，英文书 3 本，日文书 2 本，由书架上抽出一本外文书的概率为（ ） 。解：1/2。书架上共有（5+3+2）本书，其
10、中外文书有（3+2）本，则由书架上抽出一本外文书的概率为 = 。102123nn2ini=113XBXX0S()EE3339721B=D=00100X=ii9、 设 总 体 服 从 二 项 分 布 （ ， ） ， ， ， ， ， 为 来 自 该 总 体 的 简 单 随 机 样 本 ， 与 分 别 表 示 样 本 均 值 和 样 本 二 阶 中 心矩 ， 则 （ ） （ ） ， （ ） （ ） 。解 ： 由 （ ， ） ， 得 ： （ ） ， （ ） ， 所 以 （ ） （ 2n-129n-SX1（ ） ， （ ） （ ）三、应用题：1、 一个袋内有 5 个红球，3 个白球，2 个黑球，任取 3
11、 个球恰为一红、一白、一黑的概率为多少？（古典概型）解：设事件 A 为“任取 3 个球恰为一红、一白、一黑”由古典概型计算得所求概率为 P（A）= 31052.54C2、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。 （事件的独立性与条件概率）解：设从甲袋取到白球的事件为 A，从乙袋取到白球的事件为 B，则根据全概 率公式有： ()(|)(|)2150.41732PBAPB3、设有两种鸡蛋混放在一起，其中甲种鸡蛋单只的重量（单位：克）服从分布，乙种鸡蛋单只的重量（单位：克）服从 分布。设)25,0(N
12、)16,54(N甲种蛋占总只数的 ，%70（1） 今从该批鸡蛋中任选一只，试求其重量超过 55 克的概率；（2） 若已知所抽出的鸡蛋超过 55 克，问它是甲种蛋的概率是多少？（ )938.0)52(,8413.0)(解：设 B=“选出的鸡蛋是甲种鸡蛋” ， =“选出的鸡蛋是乙种鸡蛋”BA=“选出的鸡蛋重量超过 55 克” ，X=“甲种鸡蛋单只的重量” ，Y=“乙种鸡蛋单只的重量” ，则 ,3.0)(,7.)(BP1587.043.1)()50(1515)( XPPBA 062.938.1)5.2()4(115)( Y（1） )()()( BAPBPA1295.06.301587.0（2） 83
13、.)()(4、 设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为其 它0115,2yxyxf（1）. 求边缘概率密度函数 .；);(,fYX（2）求 ；)(xyfXY（3）求 。1P解：（1） ， dffX),()( )1(251)(,0 22xyxfx 时 其 它0)()(fX， dxyffY),()( 40251)(,1ydxyfyY时其 它05)(4fY(2) 0)(1xfxX，时其 它0112)(,)( yxyxfyfXXY(4) 6451),( 2201 xyx yddyfP5、袋中有 2 个白球，3 个黑球，不放回地连续去两次球，每次取一个。若设随机变量 X 与 Y 分别为第一、二次取得白
14、球的个数。试求：（1） （X,Y）的联合分布律（2）关于 X 及关于 Y 的边缘分布律（3）求 X=1 时，Y 的条件概率密度（4）判断 X 与 Y 是否相互独立解：（1） （2）由题目知（X,Y）的所有可能取值为（0，0） （0，1） （1，0） （1，1）且由古典概率可以求得其联合分布律及边缘分布律（见下表）X Y 0 1 P(i)0 62620351 2P(j) 355（3）PY=0X=1= PX=1Y=0/PX=1=62035= 4PY=1X=1= PX1Y =205= 14（4）由于 PX=0Y=0= PX=0PY=0= ，故 X 与 Y 不相620925互独立。6、已知（X,Y）的
15、分布律如下表所示，X Y 0 1 20 14801 0 302 60 18试求：（1）在 Y=1 的条件下，X 的条件分布律（2）在 X=2 的条件下，Y 的条件分布律解：（1） （2）由联合分布律得关于 X 与 Y 的两个边缘分布律为X 0 1 2P(k) 38374Y 0 1 2P(k) 5122418故在 Y=1 条件下，X 的条件分布律为X（Y=1） 0 1 2P(k) 380（2）由（1）的分析知，在 X=2 的条件下，Y 的条件分布律为Y（X=1） 0 1 2P(k) 470 377、设总体 X 服从泊松分布。一个容量为 10 的样本值为1,2,4,3,3,4,5,6,4,8。 计
16、算样本均值，样本方差和经验分布函数。解：由题意知，样本的频率分布为X 1 2 3 4 5 6 8 m/n 1/10 1/10 2/10 3/10 1/10 1/10 1/10则 =4，S =4.2经验分布函数为0x1,2,3104,Fx7,5108,69,10,8XX，（ ）8、某车间准备从 10 名工人中选配 4 人到某生产线工作，为了安全生产，工厂规 定，一条生产线上熟练工人数不得少于 3 人，已知这 10 名工人中熟练工8 名， 学徒工 2 名。（1）求工人的配置合理的概率；（2）为了督促其安全生产，工厂安全生产部每月对工人的配置情况进行两次抽 检，求两次检验得到结果不一致的概率。解：（
17、1）从从 10 名工人中选配 4 人共有 C =210 种可能，而一条生产线上熟410练 工人数不得少于 3 人共有 C C +C C =56 种，所以工人的配置合理382的概 率为 = 。56210（2）两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验 。因两次检验得出工人的 配置合理的概率均为 13/15，故两次检验中恰好有一次合理的概率为 C （1- ）= 。1235529、设 A=（x，y）| 1x6,1y6，x，yN *.(1)求从 A 中任取一个元素是（1,2）的概率。(2)从 A 中任取一个元素，求 x+y10 的概率解：（1） 、分别从 X、Y 各抽出一个元素都有 6 种可能，则共有 6*6=36 种结果。其中抽到元素（1,2）的可能有一种，所以从 A 中任取一个元素是（1,2） 的概率为 。136（2） 、随意抽到结果为 X+Y10 的元素可能结果为（4,6） 、 （5,5） 、 ） （5,6） （6，4） 、6,5） （6,6）共有 6 种，所以从 A 中任取一个元素，求 x+y
