1、 概率论与数理统计试题11 级计算机大队二区队1、选择题:1、假设事件 A 与事件 B 互为对立,则事件 AB( )。(A) 是不可能事件 (B) 是可能事件(C) 发生的概率为 1 (D) 是必然事件答案:A。这是因为对立事件的积事件是不可能事件。2、某人睡午觉醒来,发现表停了,他打开收音机想听电台整点报时,则他等待 的时间小于 10 分钟的概率是( ) 。A、 B、 C、 D、1612160172答案:A。以分钟为单位,记上一次报时时刻为 0,则下一次报时时刻为 60,于 是,这个人打开收音机的时间必在(0,60)内,记“等待时间短于分 钟”为事件 A。则有 S=(0,60) , A=(5
2、0,60) 所以 P(A)= = = 。AS063、设连续型随机变量(X,Y)的两个分量 X 和 Y 相互独立,且服从同一分布,问 PX Y=() 。A、0 B、 C、 D、11214答案:B。利用对称性,因为 X,Y 独立同分布,所以有 PX Y=PY X,而 PX Y+ PY X=1, 所以 PX Y=24、设二维随机变量(X,Y)的分布函数为 F(x,y),分布律如下:则 F(2,3)=() 。A、0 B、 C、 D、14716916答案:D 。 F(2,3)=PX 2,Y 3=PX=1,Y=1+PX=1,Y=2+ PX=1,Y=3+ PX=2,Y=1+PX=2.Y=2 + PX=2,Y
3、=3= +0+0+ + +0146X Y 1 2 3 41 40 0 162 61403 0 10= 9165、下列命题中错误的是( )。(A)若 ( ),则 ;X:pXDE(B)若 服从参数为 的指数分布,则 ;1XE(C)若 ( ),则 ;b,1,(D)若 服从区间 上的均匀分布,则 .Xa, 322ba答案:B。 2,XDE6、设 服从二维正态分布,则下列条件中不是 相互独立的充分必要条 Y, YX,件是( )。(A) 不相关 (B) X, E(C) (D) 0covY 0Y答案:D。当 服从二维正态分布时,不相关性 独立性。若 服从一 , X,般的分布,则 相互独立 不相关,反之未必。
4、XYX,7、已知总体 X 服从0, 上的均匀分布( 未知) ,X ,X ,X ,X123的样 本,则( ) 。n1 122 A- B-EnCX+DXni ii iii 、 是 一 个 统 计 量 、 ( ) 是 一 个 统 计 量 、 是 一 个 统 计 量 、 ( ) 是 一 个 统 计 量答案:C。统计量的定义为:样本的任一不含总体分布未知参数的函数称为该样 本的统计量。而(A) 、 (B) 、 (D)中均含未知参数。2 2123n2 22XNX,XS- ABU=Nnn-CT=t1DXSSn8、 设 总 体 ( , ) , , , , , 是 取 自 的 一 个 样 本 , 与分 别 为
5、该 样 本 的 样 本 均 值 与 样 本 差 , 则 下 面 ( ) 是 错 的 。、 ( , ) 、 ( 0,) 、 ( ) 、 与 不 独 立解 : 对 于 但 正 态 总 体 来 说 , 与 是 相 互 独 立 的 , 故 ( ) 错9、设函数 ,则 F(x)是() 。0xF/3,21,( )(A)是某随机变量的分布函数 (B)是离散型随机变量的分布函数(C)是连续型随机变量的分布函数 (D)不是某随机变量的分布函数答案:A。10、某班级要从 4 名男生,2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务,如果要求至 少有 1 名女生,那么不同的选派方案种数为() 。A48 B.24 C.28
6、D.14 答案:D。由题意得:如果要求至少有 1 名女生的选派方案种数为:C C +C C1234=14 种。242、填空题:1. 已知 P(A)=0.6, P(B|A)=0.3, 则 P(AB)=( ) 。答案:0.18。 由乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A)=0.60.3=0.18。2. 三个人独立地向一架飞机射击,每个人击中飞机的概率都是 0.4,则飞机被 击中的概率为( ) 。答案:0.784。是因为三人都不中的概率为 0.6 =0.216, 则至少一人中的概3率 就是 1-0.216=0.784。3、若(X,Y)的分布律为Y X 1 2 31 619182 3a b则 a,b
7、 应满足的条件是( ) 。答案:由分布律的性质可知, + + + +a+b=1,则 a+b= 。1698134、设随机变量 X 与 Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)的联合分布律 及关于 X 与 Y 的边缘分布律中的部分数值,试将其它数值填入表中的空白处。解:由边缘概率分布的定义知:P =P P = = ,1:21684又由 X 与 Y 相互独立,有 = P = P P = P ,121:16故 P = ,1:4从而 P = ,又由 P = P P ,即3812:2= P ,82:从而 P = ,类似的有1P = ,P = ,P = ,所以:3:1342:X Y Y(1) Y(2)
8、 Y(3) Y(4)X1 181214X218343X Y Y1Y2Y3Pi:X1 18X218P j: 1P j:16121315、 , , , 是相互独立的随机变量,且都服从正态分布 N( , ),1X2nX 2( ),则 服从的分布是( ) ,且 ( ) ,0ii1 XE( ) 。XD答案:正态分布, ,。n26、设总体 服从参数为 2 的指数分布, , , 为来自总体 的1X2nX一个样本,则当 时, 依概率收敛于( ) 。nnYii12答案: 。127、两个骰子的点数分别为 b,c,则方程 x2+bx+c=0 有两个实数根的概率为( ) 。解: 。共有 6*6=36 种结果,方程有解
9、,则=b 4c0,即 b 4c,满足1936 22条件的数记为(b ,4c) ,共有(4,4) , (9,4) , (9,8) , (16,4) , (16,8) ,2(16,12) , (16,16) , (25,4) , (25,8) , (25,12) , (25,16) , (25,20) , (25,24) ,(36,4) , (36,8) , (36,12) , (36,16) , (36,20) , (36,24) ,19 个结果。8、.若书架上放有中文书 5 本,英文书 3 本,日文书 2 本,由书架上抽出一本外文书的概率为( ) 。解:1/2。书架上共有(5+3+2)本书,其
10、中外文书有(3+2)本,则由书架上抽出一本外文书的概率为 = 。102123nn2ini=113XBXX0S()EE3339721B=D=00100X=ii9、 设 总 体 服 从 二 项 分 布 ( , ) , , , , , 为 来 自 该 总 体 的 简 单 随 机 样 本 , 与 分 别 表 示 样 本 均 值 和 样 本 二 阶 中 心矩 , 则 ( ) ( ) , ( ) ( ) 。解 : 由 ( , ) , 得 : ( ) , ( ) , 所 以 ( ) ( 2n-129n-SX1( ) , ( ) ( )三、应用题:1、 一个袋内有 5 个红球,3 个白球,2 个黑球,任取 3
11、 个球恰为一红、一白、一黑的概率为多少?(古典概型)解:设事件 A 为“任取 3 个球恰为一红、一白、一黑”由古典概型计算得所求概率为 P(A)= 31052.54C2、有两个口袋,甲袋中盛有两个白球,一个黑球,乙袋中盛有一个白球,两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋,再从乙袋中取出一个球,求取到白球的概率。 (事件的独立性与条件概率)解:设从甲袋取到白球的事件为 A,从乙袋取到白球的事件为 B,则根据全概 率公式有: ()(|)(|)2150.41732PBAPB3、设有两种鸡蛋混放在一起,其中甲种鸡蛋单只的重量(单位:克)服从分布,乙种鸡蛋单只的重量(单位:克)服从 分布。设)25,0(N
12、)16,54(N甲种蛋占总只数的 ,%70(1) 今从该批鸡蛋中任选一只,试求其重量超过 55 克的概率;(2) 若已知所抽出的鸡蛋超过 55 克,问它是甲种蛋的概率是多少?( )938.0)52(,8413.0)(解:设 B=“选出的鸡蛋是甲种鸡蛋” , =“选出的鸡蛋是乙种鸡蛋”BA=“选出的鸡蛋重量超过 55 克” ,X=“甲种鸡蛋单只的重量” ,Y=“乙种鸡蛋单只的重量” ,则 ,3.0)(,7.)(BP1587.043.1)()50(1515)( XPPBA 062.938.1)5.2()4(115)( Y(1) )()()( BAPBPA1295.06.301587.0(2) 83
13、.)()(4、 设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为其 它0115,2yxyxf(1). 求边缘概率密度函数 .;);(,fYX(2)求 ;)(xyfXY(3)求 。1P解:(1) , dffX),()( )1(251)(,0 22xyxfx 时 其 它0)()(fX, dxyffY),()( 40251)(,1ydxyfyY时其 它05)(4fY(2) 0)(1xfxX,时其 它0112)(,)( yxyxfyfXXY(4) 6451),( 2201 xyx yddyfP5、袋中有 2 个白球,3 个黑球,不放回地连续去两次球,每次取一个。若设随机变量 X 与 Y 分别为第一、二次取得白
14、球的个数。试求:(1) (X,Y)的联合分布律(2)关于 X 及关于 Y 的边缘分布律(3)求 X=1 时,Y 的条件概率密度(4)判断 X 与 Y 是否相互独立解:(1) (2)由题目知(X,Y)的所有可能取值为(0,0) (0,1) (1,0) (1,1)且由古典概率可以求得其联合分布律及边缘分布律(见下表)X Y 0 1 P(i)0 62620351 2P(j) 355(3)PY=0X=1= PX=1Y=0/PX=1=62035= 4PY=1X=1= PX1Y =205= 14(4)由于 PX=0Y=0= PX=0PY=0= ,故 X 与 Y 不相620925互独立。6、已知(X,Y)的
15、分布律如下表所示,X Y 0 1 20 14801 0 302 60 18试求:(1)在 Y=1 的条件下,X 的条件分布律(2)在 X=2 的条件下,Y 的条件分布律解:(1) (2)由联合分布律得关于 X 与 Y 的两个边缘分布律为X 0 1 2P(k) 38374Y 0 1 2P(k) 5122418故在 Y=1 条件下,X 的条件分布律为X(Y=1) 0 1 2P(k) 380(2)由(1)的分析知,在 X=2 的条件下,Y 的条件分布律为Y(X=1) 0 1 2P(k) 470 377、设总体 X 服从泊松分布。一个容量为 10 的样本值为1,2,4,3,3,4,5,6,4,8。 计
16、算样本均值,样本方差和经验分布函数。解:由题意知,样本的频率分布为X 1 2 3 4 5 6 8 m/n 1/10 1/10 2/10 3/10 1/10 1/10 1/10则 =4,S =4.2经验分布函数为0x1,2,3104,Fx7,5108,69,10,8XX,( )8、某车间准备从 10 名工人中选配 4 人到某生产线工作,为了安全生产,工厂规 定,一条生产线上熟练工人数不得少于 3 人,已知这 10 名工人中熟练工8 名, 学徒工 2 名。(1)求工人的配置合理的概率;(2)为了督促其安全生产,工厂安全生产部每月对工人的配置情况进行两次抽 检,求两次检验得到结果不一致的概率。解:(
17、1)从从 10 名工人中选配 4 人共有 C =210 种可能,而一条生产线上熟410练 工人数不得少于 3 人共有 C C +C C =56 种,所以工人的配置合理382的概 率为 = 。56210(2)两次检验是相互独立的,可视为独立重复试验 。因两次检验得出工人的 配置合理的概率均为 13/15,故两次检验中恰好有一次合理的概率为 C (1- )= 。1235529、设 A=(x,y)| 1x6,1y6,x,yN *.(1)求从 A 中任取一个元素是(1,2)的概率。(2)从 A 中任取一个元素,求 x+y10 的概率解:(1) 、分别从 X、Y 各抽出一个元素都有 6 种可能,则共有 6*6=36 种结果。其中抽到元素(1,2)的可能有一种,所以从 A 中任取一个元素是(1,2) 的概率为 。136(2) 、随意抽到结果为 X+Y10 的元素可能结果为(4,6) 、 (5,5) 、 ) (5,6) (6,4) 、6,5) (6,6)共有 6 种,所以从 A 中任取一个元素,求 x+y